Interpolação polinomial: suponhamos que f: R R é uma função cuatro vezes diferenciável tal que f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=0 e f(2)= 3.
Através da resolução de um sistema linear apropriado, obtenha o polinômio interpolador de grau 3, P3(x), que coincide com a função f nos pontos fornecidos.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um probleminha de interpolação polinomial. A ideia é achar um polinômio de grau 3, que a gente vai chamar de (-1,2), (0,1), (1,0), (2,3) , que passe exatamente pelos quatro pontos dados:
Matéria: interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
  1. Assumir .
  2. Usar cada ponto pra montar uma equação em .
  3. Resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as equações de interpolação:
Para -a + b - c + d = 2 , d = 1
a + b + c + d = 0
Para 8a + 4b + 2c + d = 3 ,
Para ,
Para ,
Isso é só aplicar a definição de em cada abscissa.

Passo 3

Já vimos que -a + b - c = 1, a + b + c = -1, 8a +4b+2c = 2 . Agora substituímos nas outras três equações para ficar um sistema só em :
  1. ,
  2. ,
  3. .
Então o sistema é:

Passo 4

Agora, sem mistério:
  • Soma (1) + (2): 8a + 4cdot0 + 2(-1 - a) = 2 ;Longrightarrow;8a -2 -2a = 2 ;Longrightarrow;6a = 4 ;Longrightarrow;a = tfrac23 .
  • Com , da equação (2): .
  • Substitui e em (3):
  • .
E já tínhamos e .

Resposta

O polinômio interpolador de grau 3 é
boxedP3(x) = 23,x^3 ;-;53,x ;+;1

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