Interpolação polinomial: suponhamos que f: R R é uma função cuatro vezes diferenciável tal que f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=0 e f(2)= 3.
Use interpolação linear para calcular uma aproximação da solução da equação f(x)=2.7.

Passo 1

Beleza, temos uma função f que passa pelos pontos
(-1,2), (0,1), (1,0), (2,3)
e queremos achar, por interpolação linear, um x tal que f(x)=2.7.
Conteúdo: interpolação linear (reta entre dois pontos).
O que precisamos:
  1. Identificar em qual intervalo f(x) atinge 2.7.
  2. Aplicar a fórmula da reta entre os dois pontos desse intervalo.
  3. Resolver para x.

Passo 2

Primeiro, vejo onde f(x) cruza o valor 2.7. Olhando nos pontos:
  • Em x=1, f(1)=0.
  • Em x=2, f(2)=3.
    Como 0 < 2.7 < 3, concluímos que a solução aproximada está no intervalo [1,2].

Passo 3

Agora, a teoria da interpolação linear: dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), a reta que passa por eles é
L(x)=y1 + y2 - y1x2 - x1,(x - x1)
Aqui vamos usar
(x1,y1)=(1,0), (x2,y2)=(2,3),
e impor L(x)=2.7 para achar x.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
2.7 ;=; 0 ;+; 3 - 02 - 1,(x - 1) ;Longrightarrow; 2.7 = 3,(x - 1)
Agora é só isolar x:
x - 1 = 2.73 = 0.9 Longrightarrow x = 1 + 0.9 = 1.9

Resposta

A aproximação por interpolação linear da solução de f(x)=2.7 é
boxedx approx 1.9

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