Solução numérica de sistemas não lineares de tamanho nxn: considere o seguinte sistema de equações não-lineares:
-x^2+y^2 & =1 3 x y & =2
Determine J(x)^-1, a inversa da matriz Jacobiana.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem? Um sistema não-linear 2×2:
-,x^2 + y^2 = 1, 3,x,y = 2
O que a gente precisa aqui é montar a matriz Jacobiana desse sistema e depois achar a inversa dela, isto é, . Para isso vamos usar conceitos de derivadas parciais (pra montar a Jacobiana), determinante (pra checar se a matriz é invertível) e a fórmula da inversa de uma matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos nomear as duas funções do sistema:
f1(x,y) = -,x^2 + y^2, f2(x,y) = 3,x,y
A matriz Jacobiana J(x,y) = partial f1partial x & partial f1partial y [6pt] partial f2partial x & partial f2partial y = -2x & 2y [4pt] 3y & 3x tem como elemento a derivada parcial da função em relação à variável . Logo:
[
J(x,y)

.
]
Explicando rápido: , , etc.

Passo 3

Agora, para ver se dá pra inverter, calculamos o determinante de det J = (-2x),(3x) ;-; (2y),(3y) = -6x^2 ;-;6y^2 = -6,(x^2 + y^2) :
Como (salvo se , mas aí nosso sistema nem faz sentido), o determinante não é zero e podemos mesmo achar a inversa.

Passo 4

A fórmula da inversa de
a & b c & d é
1ad - bc, d & -b [4pt] -,c & a
Aqui, J(x,y)^-1 = 1-6(x^2+y^2) 3x & -,2y [4pt] -,3y & -,2x , , , e . Então

Resposta

boxed% J(x,y)^-1 = 1-6,(x^2+y^2) 3x & -2y[4pt] -3y & -2x
Ou, se preferir, colocando o sinal lá na frente:
J(x,y)^-1 = 16,(x^2+y^2) -3x & 2y[4pt] 3y & 2x

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