Solução numérica de sistemas não lineares de tamanho nxn: considere o seguinte sistema de equações não-lineares:
Determine , a inversa da matriz Jacobiana.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem? Um sistema não-linear 2×2:
O que a gente precisa aqui é montar a matriz Jacobiana desse sistema e depois achar a inversa dela, isto é, . Para isso vamos usar conceitos de derivadas parciais (pra montar a Jacobiana), determinante (pra checar se a matriz é invertível) e a fórmula da inversa de uma matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos nomear as duas funções do sistema:
A matriz Jacobiana tem como elemento a derivada parcial da função em relação à variável . Logo:
[
J(x,y)
.
]
Explicando rápido: , , etc.
Passo 3
Agora, para ver se dá pra inverter, calculamos o determinante de det J = (-2x),(3x) ;-; (2y),(3y) = -6x^2 ;-;6y^2 = -6,(x^2 + y^2) :
Como (salvo se , mas aí nosso sistema nem faz sentido), o determinante não é zero e podemos mesmo achar a inversa.
Passo 4
A fórmula da inversa de a & b c & d é
1ad - bc, d & -b [4pt] -,c & a
Aqui, J(x,y)^-1 = 1-6(x^2+y^2) 3x & -,2y [4pt] -,3y & -,2x , , , e . Então