Solução numérica de EDOs: Considere o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime=(-x+2 y) / x y(1)=0
Calcule a solução exata, y(x), do problema de valor inicial dado em (3), observe que a equação é uma equação diferencial de tipo homogêneo.

Passo 1

Beleza, o enunciado é resolver o problema de valor inicial
y'=-x+2yx, y(1)=0,
que é uma equação de primeira ordem (ela até aparece como “homogênea”, mas, na real, a gente trata como linear de coeficiente variável).
O que vamos precisar:
  1. Colocar em forma padrão .
  2. Usar o método do fator integrante.
  3. Aplicar a condição .

Passo 2

Primeiro, ajeita a equação em forma padrão. Temos
y'=-x+2yx Longrightarrow y'=-1+2yx Longrightarrow y'-2x,y=-1
Aqui e .

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante
mu(x) =expl(integral P(x),dxr) =expl(integral -2x,dxr) =expl(-2ln xr) =x^-2

Passo 4

Multiplica toda a equação por x^-2y' - 2x,x^-2y = -x^-2 Longrightarrow ddxl(x^-2yr) =-1x^2 :
(Repara que a esquerda virou derivada do produto .)

Passo 5

Integra dos dois lados:
x^-2y = integral -1x^2,dx = 1x + C

Passo 6

Desfazendo y(x)=x^2l(1x+Cr) =x + Cx^2 :

Passo 7

Usa a condição inicial 0 = y(1) = 1 + Ccdot1^2 Longrightarrow C=-1 :

Resposta

boxedy(x)=x - x^2

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