Interpolação polinomial: suponhamos que f: R R é uma função cuatro vezes diferenciável tal que f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=0 e f(2)= 3.
Estime o erro máximo de interpolação no intervalo [-1,2], assumindo que |f^(4)(x)|<2 para todo x in(-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente estime o erro máximo quando aproximamos uma função (-1,2),;(0,1),;(1,0),;(2,3) (que é 4 vezes diferenciável) por um polinômio de grau 3 que interpola os pontos
O conteúdo aqui é o Teorema do Resto de Lagrange na Interpolação Polinomial. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Saber a fórmula do erro quando se interpola com grau 3.
  2. Usar o fato de que em todo o intervalo .
  3. Encontrar o máximo, em valor absoluto, do produto para .

Passo 2

O resto de Lagrange na interpolação com nódulos Rn(x)=f(x)-pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x-x0)(x-x1)cdots(x-xn), diz que, para grau l|R3(x)r| <= max|f^(4)(xi)|4!,l|(x+1)x(x-1)(x-2)r| <224,l|(x+1)x(x-1)(x-2)r| =112,l|(x+1)x(x-1)(x-2)r| ,
para algum entre os nódulos e .
Aqui , os nódulos são e a derivada de ordem 4 em módulo vale menos que 2. Então

Passo 3

Agora precisamos achar
M = maxxin[-1,2]l|(x+1)x(x-1)(x-2)r|
Chamando g'(x)=4x^3-6x^2-2x+2 Longrightarrow 2x^3-3x^2-x+1=0 , veja que nos pontos finais |g(0.5)|=0.5625, |g(1.618)|approx1, |g(-0.618)|approx1 o produto zera.
Para achar os extremos em , deriva:
Fatorando, os zeros ficam em .
Avaliando nesses pontos dá aproximadamente
Logo .

Passo 4

Substituindo l|R3(x)r| <112times 1 =112 na desigualdade do resto, obtemos

Resposta

O erro máximo de interpolação, no intervalo , é .

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