Interpolação polinomial: suponhamos que é uma função cuatro vezes diferenciável tal que e 3.
Estime o erro máximo de interpolação no intervalo , assumindo que para todo x in(-1,2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente estime o erro máximo quando aproximamos uma função (-1,2),;(0,1),;(1,0),;(2,3) (que é 4 vezes diferenciável) por um polinômio de grau 3 que interpola os pontos
O conteúdo aqui é o Teorema do Resto de Lagrange na Interpolação Polinomial. Para resolver, a gente vai precisar de:
Saber a fórmula do erro quando se interpola com grau 3.
Usar o fato de que em todo o intervalo .
Encontrar o máximo, em valor absoluto, do produto para .
Passo 2
O resto de Lagrange na interpolação com nódulos Rn(x)=f(x)-pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x-x0)(x-x1)cdots(x-xn), diz que, para grau l|R3(x)r| <= max|f^(4)(xi)|4!,l|(x+1)x(x-1)(x-2)r| <224,l|(x+1)x(x-1)(x-2)r| =112,l|(x+1)x(x-1)(x-2)r| ,
para algum entre os nódulos e .
Aqui , os nódulos são e a derivada de ordem 4 em módulo vale menos que 2. Então
Passo 3
Agora precisamos achar
M = maxxin[-1,2]l|(x+1)x(x-1)(x-2)r|
Chamando g'(x)=4x^3-6x^2-2x+2 Longrightarrow 2x^3-3x^2-x+1=0 , veja que nos pontos finais |g(0.5)|=0.5625, |g(1.618)|approx1, |g(-0.618)|approx1 o produto zera.
Para achar os extremos em , deriva:
Fatorando, os zeros ficam em .
Avaliando nesses pontos dá aproximadamente
Logo .
Passo 4
Substituindo l|R3(x)r| <112times 1 =112 na desigualdade do resto, obtemos