Multiplicando J^-1F =16(x^2+y^2) -3x & 2y[4pt] 3y & 2x f1[4pt] f2 = 16(x^2+y^2) -3x,f1 + 2y,f2[6pt] 3y,f1 + 2x,f2 por G(x,y) =xy - -3x,f1 +2y,f26(x^2+y^2)[6pt] 3y,f1 +2x,f26(x^2+y^2) = x + dfrac3x,f1 -2y,f26(x^2+y^2)[8pt] y - dfrac3y,f1 +2x,f26(x^2+y^2) e fazendo , dá
[
\mathbf{J}^{-1}\mathbf{F}
=\frac1{6(x2+y2)}
\frac1{6(x2+y2)} .
]
Então
[
\mathbf{G}(x,y)
=
.
]
Esse é o mapeamento de Newton .
Passo 5
Por que pontos fixos de (x,y)^T =G(x,y) =(x,y)^T ;-;J^-1(x,y),F(x,y) ;;Longrightarrow;; J^-1(x,y),F(x,y)=0 são zeros de ?
– “Ponto fixo” significa .
– Então
– Como existe (det), só temos solução se .
Vice-versa, se , então claramente .
Logo fixo de ⇔ zero de .
Resposta
Os pontos fixos de (isto é, soluções de ) satisfazem . Como é invertível, isso ocorre exatamente quando . Portanto, os pontos fixos de são exatamente os zeros de .