Solução numérica de sistemas não lineares de tamanho nxn: considere o seguinte sistema de equações não-lineares:
-x^2+y^2 & =1 3 x y & =2
Calcule
G(x^t)=x^t-J(x)^-1 cdot F(x)^t
e) Explique porque os pontos fixos da função G são exatamente os zeros da função F.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que tá rolando. A gente tem um sistema não-linear de duas equações em duas variáveis:
-x^2+y^2 =1, 3xy =2
A matéria aqui é o Método de Newton (ou Newton–Raphson) para sistemas: a ideia é iterar
x^(k+1) ;=; x^(k) ;-;J(x^(k))^-1,F(x^(k)),
onde
G(x) ;=;x-J(x)^-1,F(x) é o vetor das equações e é a matriz jacobiana.
O enunciado pede para a gente calcular explicitamente
e depois, na letra (e), explicar por que os pontos fixos de são justamente as soluções (zeros) de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos claramente:
[
\mathbf{F}(x,y)
= F(x,y) = f1(x,y)[6pt] f2(x,y) = -,x^2 + y^2 - 1[4pt] 3,x,y - 2

J(x,y) = partial f1partial x & partial f1partial y[6pt] partial f2partial x & partial f2partial y = -2x & 2y[4pt] 3y & 3x
]
e a Jacobiana
[
\mathbf{J}(x,y)
=

.
]

Passo 3

Agora precisamos da inversa de a&bc&d. Para uma matriz
d&-b-c&a,
det J =(-2x)(3x)-(2y)(3y) =-6(x^2+y^2) .
Aqui
J(x,y)^-1 =1-6(x^2+y^2) 3x & -2y[4pt] -3y & -2x =16(x^2+y^2) -3x & 2y[4pt] 3y & 2x
Logo

Passo 4

Multiplicando J^-1F =16(x^2+y^2) -3x & 2y[4pt] 3y & 2x f1[4pt] f2 = 16(x^2+y^2) -3x,f1 + 2y,f2[6pt] 3y,f1 + 2x,f2 por G(x,y) =xy - -3x,f1 +2y,f26(x^2+y^2)[6pt] 3y,f1 +2x,f26(x^2+y^2) = x + dfrac3x,f1 -2y,f26(x^2+y^2)[8pt] y - dfrac3y,f1 +2x,f26(x^2+y^2) e fazendo , dá
[
\mathbf{J}^{-1}\mathbf{F}
=\frac1{6(x2+y2)}

\frac1{6(x2+y2)}
.
]
Então
[
\mathbf{G}(x,y)
=

.
]
Esse é o mapeamento de Newton .

Passo 5

Por que pontos fixos de (x,y)^T =G(x,y) =(x,y)^T ;-;J^-1(x,y),F(x,y) ;;Longrightarrow;; J^-1(x,y),F(x,y)=0 são zeros de ?
– “Ponto fixo” significa .
– Então
– Como existe (det ), só temos solução se
.
Vice-versa, se , então claramente .
Logo fixo de ⇔ zero de .

Resposta

Os pontos fixos de (isto é, soluções de ) satisfazem
. Como é invertível, isso ocorre exatamente quando . Portanto, os pontos fixos de são exatamente os zeros de .

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