Solução numérica de EDOs: Considere o seguinte problema de valor inicial:
Use o método de Euler para calcular a solução aproximada,
, do problema de valor inicial dado em (3) no intervalo
, assuma que
o tamanho do passo é
.
o tamanho do passo é
Passo 1
Beleza, o problema é resolver numericamente a EDO
no intervalo
Conteúdo: ODEs e Método de Euler explícito. Vamos precisar da fórmula
onde
.
Passo 2
Teoria do Método de Euler (explícito):
- Você parte de
; - avalia
; - faz
Isso dá uma reta tangente para “pular” até o próximo ponto. Nada de mistério, é só usar essa fórmula repetidamente.
Passo 3
Vamos calcular os dois primeiros passos pra pegar o jeito:
- Ponto inicial:
, . -
. - Então
Agora o segundo:
-
- Logo
Passo 4
Repetimos isso até
. Em cada passo:
Passo 5
Depois de rodar até
(vai dar 10 subintervalos de 0.1), obtemos aproximadamente:
xₙ | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0
yₙ | 0 | -0.1 | -0.2182 | -0.3545 | -0.5091 | -0.6818 | -0.8727 | -1.0818 | -1.3100 | -1.5555 | -1.8193
xₙ | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0
yₙ | 0 | -0.1 | -0.2182 | -0.3545 | -0.5091 | -0.6818 | -0.8727 | -1.0818 | -1.3100 | -1.5555 | -1.8193
Ou seja, o último valor
em
é cerca de
.
Resposta
A solução aproximada pelo método de Euler com
no intervalo
em cada ponto
é:
Em particular,