Solução numérica de EDOs: Considere o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime=(-x+2 y) / x y(1)=0
Use o método de Euler para calcular a solução aproximada, yE(x), do problema de valor inicial dado em (3) no intervalo I=[1,2], assuma que
o tamanho do passo é h=0.1.

Passo 1

Beleza, o problema é resolver numericamente a EDO
y'=-x+2yx, y(1)=0
no intervalo [1,2] usando o método de Euler com passo h=0.1.
Conteúdo: ODEs e Método de Euler explícito. Vamos precisar da fórmula
yn+1=yn+h,f(xn,yn)
onde f(x,y)=(-x+2y)/x.

Passo 2

Teoria do Método de Euler (explícito):
  1. Você parte de (x0,y0);
  2. avalia f(xn,yn);
  3. faz
yn+1=yn+h,f(xn,yn), xn+1=xn+h
Isso dá uma reta tangente para “pular” até o próximo ponto. Nada de mistério, é só usar essa fórmula repetidamente.

Passo 3

Vamos calcular os dois primeiros passos pra pegar o jeito:
  • Ponto inicial: x0=1, y0=0.
  • f(x0,y0)=-1+2cdot01=-1.
  • Então
y1=y0+0.1cdot(-1)=0-0.1=-0.1, x1=1.1
Agora o segundo:
- f(x1,y1)=-1.1+2cdot(-0.1)1.1=-1.1-0.21.1=-1.31.1approx -1.1818
- Logo
y2=y1+0.1cdot(-1.1818)approx -0.1-0.11818=-0.21818, x2=1.2

Passo 4

Repetimos isso até x10=2.0. Em cada passo:
f(xn,yn)=-xn+2,ynxn, yn+1=yn+0.1,f(xn,yn), xn+1=xn+0.1

Passo 5

Depois de rodar até n=10 (vai dar 10 subintervalos de 0.1), obtemos aproximadamente:
xₙ | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0
yₙ | 0 | -0.1 | -0.2182 | -0.3545 | -0.5091 | -0.6818 | -0.8727 | -1.0818 | -1.3100 | -1.5555 | -1.8193
Ou seja, o último valor y10 em x10=2.0 é cerca de -1.8193.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Euler com h=0.1 no intervalo [1,2] em cada ponto xn=1+0.1n é:
(xn,yn)n=0^10approx(1.0,0),,(1.1,-0.1),,(1.2,-0.2182),dots,(2.0,-1.8193)
Em particular, yE(2.0)approx -1.8193.

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