É dada a função f(x)=x^4-3 x^2+1. Determine pelo método de Newton os polinômios de grau menor ou igual a 3 que interpolam f nos pontos -2, 0, 1 e 2 e nos pontos 0, 1, 2 e 3 , respectivamente. Use-os para estimar f(12) e delimite o erro cometido em cada caso. Confronte as estimativas com o erro real.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
f(x)=x^4-3x^2+1
e que a gente precisa achar, pelo método de Newton, dois polinômios de grau até 3 que interpolam essa função em dois conjuntos de pontos:
1) em x=-2,0,1,2
2) em x=0,1,2,3
Depois, usar cada polinômio pra estimar fl(tfrac12r) e calcular um limite para o erro cometido (o resto da fórmula de Taylor/Interpolação). Por fim, comparar isso com o erro real.
O conteúdo é Interpolação de Newton e estimativa do resto. Vamos precisar de:
  • Tabela de diferenças divididas de Newton.
  • Fórmula geral do polinômio de Newton.
  • Fórmula do resto em termos da derivada de ordem 4.

Passo 2

Interpolando em x0=-2,;x1=0,;x2=1,;x3=2:
  1. Calcule f nesses pontos:
f(-2)=5, f(0)=1, f(1)=-1, f(2)=5
2) Monte as diferenças divididas:
$$
f[x0,x1]&=1-50-(-2)=-2, f[x1,x2]&=-1-11-0=-2, f[x2,x3]&=5-(-1)2-1=6, f[x0,x1,x2]&=-2-(-2)1-(-2)=0, f[x1,x2,x3]&=6-(-2)2-0=4, f[x0,x1,x2,x3]&=4-02-(-2)=1
P1(x)=5;+;(-2)(x+2);+;0,(x+2)(x);+;1,(x+2)x(x-1) ô
P_1(x)=5;+;(-2)(x+2);+;0,(x+2)(x);+;1,(x+2)x(x-1).
P1(x)=x^3+x^2-4x+1 á
P_1(x)=x3+x2-4x+1.
$$

Passo 3

Agora estimativa e resto em x=tfrac12:
  1. Valor aproximado:
P1l(tfrac12r) =l(tfrac12r)^3+l(tfrac12r)^2-4cdottfrac12+1 =-tfrac58=-0,625
  1. Resto da interpolação (a derivada de 4ª ordem de f vale f^(4)(x)=24, e 4!=24):
R3l(tfrac12r) =f^(4)(xi)4!,(x+2)x(x-1)(x-2)g|x=tfrac12 =;(x+2)x(x-1)(x-2)|x=tfrac12 =1516approx0,9375
Então o erro real |f(tfrac12)-P1(tfrac12)| vale exatamente tfrac1516.

Passo 4

Interpolando em x0=0,;x1=1,;x2=2,;x3=3:
  1. Calcule f:
f(0)=1,;f(1)=-1,;f(2)=5,;f(3)=55
2) Diferenças divididas:
$$
f[x0,x1]&=-2, f[x1,x2]=6, f[x2,x3]=50, f[x0,x1,x2]&=6-(-2)2-0=4, f[x1,x2,x3]=50-63-1=22, f[x0,x1,x2,x3]&=22-43-0=6
P2(x) =1-2(x-0)+4x(x-1)+6x(x-1)(x-2) ô
P_2(x)
=1-2(x-0)+4x(x-1)+6x(x-1)(x-2).
$$

Passo 5

Estimativa e resto para x=tfrac12:
1)
P2l(tfrac12r) =1-2cdottfrac12+4cdottfrac12l(tfrac12-1r) +6cdottfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r) =1,25;(=tfrac54)
  1. Resto (mesma derivada 4ª ordem e mesma fórmula):
R3l(tfrac12r) =(x)(x-1)(x-2)(x-3)|x=tfrac12 =,-1516approx-0,9375,
logo o erro em módulo também é tfrac1516.

Resposta

Polinômios de Newton e estimativas em x=tfrac12:
  • Para interpolar em -2,0,1,2: P1l(tfrac12r)=-0,625, |,erro,|<=1516approx0,9375
    - Para interpolar em 0,1,2,3:
    P2l(tfrac12r)=1,25, |,erro,|<=1516approx0,9375
Os erros reais coincidem com esses limites: 0,9375.

Exercícios relacionados