Qual é o intervalo de convergência da série sumn=0^infty(11-x)^n ?
a) (0,2)
b) [0,2]
c) (-infty, 0] cup[2, infty)
d) (-infty, 0) cup(2, infty)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente descobrir em que valores de sumn=0^inftyl(tfrac11-xr)^n a série
converge. Isso é sobre séries de potências e, mais especificamente, sobre séries geométricas. Vamos precisar lembrar que uma série geométrica

só converge quando .

Passo 2

A gente reconhece a nossa série como série geométrica com razão
r ;=;11-x
Ou seja, ela é da forma com .

Passo 3

Pelo critério de convergência da série geométrica, precisamos ter
gllvert 11-xgrrvert < 1
Isso significa que o valor absoluto do “r” tem que ser menor que 1.

Passo 4

Agora resolvemos
llvert 1-xrrvert > 1
Lembrando que x < 0ou x > 2, equivale a ou . Então:
  1. .
  2. .
    Juntando, a série converge para
isto é, no intervalo .

Resposta

A opção correta é a letra d) .

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