Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com:
10 bits?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com 10 bits?”\n
Informações dadas que vamos usar: 10 bits de representação e o sistema é Complemento-1 (ones’ complement). Não vamos resolver nada ainda, só identificar o que o problema pede e os dados disponíveis.

Passo 2

O que é Complemento-1 (explicação didática):\n
  • Em Complemento-1 o bit mais significativo (MSB) indica o sinal: \,0 para números não negativos e \,1 para números negativos. \n
  • Números negativos são obtidos invertendo todos os bits da representação do número positivo correspondente (bitwise NOT). Por exemplo, se a representação positiva de magnitude é \,0 seguido de alguns bits, a do negativo correspondente é essa mesma sequência com todos os bits trocados. \n
  • Uma consequência importante: existe uma representação para +\!0 (todos os bits zero) e outra para -\!0 (todos os bits um). Ou seja, há dois padrões que representam zero. Vou usar essa informação mais adiante.

Passo 3

Contagem de padrões e máximos possíveis (razão por trás da fórmula):\n
  • Com n bits há 2^{n} padrões binários distintos. Aqui n= \,10, então há
2^{10}
padrões no total. \n
  • Metade desses padrões têm MSB igual a \,0 (representações não negativas) e a outra metade têm MSB igual a \,1 (representações negativas). Logo cada lado tem
2^{n-1}
padrões. Para n= \,10 isso é
2^{9}.

Passo 4

Determinar os valores máximos positivos e negativos (passo a passo):\n
  • Os padrões com MSB 0 representam os valores de 0 até um certo máximo positivo. Se os n-1 bits restantes estiverem todos em 1, esse é o maior valor positivo. Esse valor é dado por
2^{\,{(n-1)}} - 1.
Aqui n= \,10, então o maior positivo é
2^{9} - 1.
  • Calculemos 2^{9}:
2^{9} = 512.
Subtraindo 1 obtemos
2^{9} - 1 = 511.
Portanto os números não negativos representáveis vão de 0 até 511.\n
  • Do lado negativo, pela simetria do esquema Complemento-1, os padrões com MSB 1 representam valores de -0 até o menor valor, que terá magnitude igual ao maior positivo, ou seja -511. Assim os valores negativos variam de -511 até -0.

Passo 5

Observação sobre o zero e contagem final:\n
  • Como expliquei antes, existe \,+\!0 (padrão todos zeros) e \,-\!0 (padrão todos uns). Isso significa que há duas representações distintas para o valor zero, mas isso não altera o intervalo numérico possível. \n
  • Juntando positivo e negativo, o intervalo de valores representáveis em Complemento-1 com 10 bits é
[-511,\;511].

Resposta

[-511,\,511]

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