Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com:
8 bits?

Passo 1

O que o enunciado pede: você quer saber quais são os intervalos (ou seja, os valores mínimos e máximos) que podem ser representados em Complemento-1 usando \;8\; bits.
Informações dadas: o número de bits disponíveis é \;8\;.

Passo 2

Entender como funciona a representação em Complemento-1 (explicação didática e sem pular etapas):
  • Em Complemento-1 cada número é codificado em binário com \;n\; bits.
  • O bit mais significativo (MSB) indica o sinal: se o MSB é \;0\; o número é não-negativo; se o MSB é \;1\; o número é negativo.
  • Para números positivos (ou zero positivo) a representação é a binária normal com MSB \;0.
  • Para um número negativo, a representação é obtida pegando a representação positiva do valor absoluto e fazendo a inversão bit a bit (ou seja, trocando \;0\leftrightarrow1\;) — por isso chama-se Complemento-1 (one’s complement).
  • O total de padrões possíveis com \;n\; bits é \;2^{n}\;.

Passo 3

Calcular o maior inteiro positivo representável (razão passo a passo):
  • Para obter o maior positivo, fixamos o MSB em \;0\; e colocamos \;1\; em todos os outros \;n-1\; bits.
  • Esse valor em decimal vale a soma das potências de dois desde \;2^{0}\; até \;2^{n-2}\;, ou seja
\sum_{k=0}^{n-2} 2^{k} = 2^{\,n-1}-1.
  • Assim, o maior inteiro não-negativo representável é \;2^{\,n-1}-1\;.

Passo 4

Calcular o menor inteiro (mais negativo) representável e observar o detalhe do zero duplo:
  • Em Complemento-1 os valores negativos vão de -(2^{n-1}-1) até -1. Ou seja, o limite negativo é simétrico ao positivo: -\bigl(2^{\,n-1}-1\bigr).
  • Há um detalhe importante: existem duas representações para zero — o \emph{+0} (todos os bits \;0) e o \emph{-0} (todos os bits \;1). Por isso, embora haja \;2^{n}\; padrões de bits, o número de valores inteiros distintos representáveis é \;2^{n}-1\; (um padrão extra porque +0 e -0 representam o mesmo valor numérico).

Passo 5

Aplicar para \;n=8\; (cálculo numérico passo a passo):
  • Primeiro calculemos 2^{\,n-1} com \;n=8\;:
2^{\,n-1}=2^{7}=128.
  • Portanto o maior positivo é
2^{\,7}-1=128-1=127.
  • E o menor (mais negativo) é
-(2^{\,7}-1)=-127.
  • Exemplos de padrões de 8 bits (peguei estas cadeias de bits como exemplos):
\text{+127}=\text{00000000? Não — o +127 é } \(\text{01111111}\).
\text{-127} = \text{inversão de } \(\text{01111111}\) \text{ que dá } \(\text{10000000}\).
\text{+0}=\(\text{00000000}\),\qquad \text{-0}=\(\text{11111111}\).
  • Número de valores distintos representáveis: 2^{8}-1=256-1=255 (devido aos dois zeros representarem o mesmo valor numérico).

Resposta

[-127,127]

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