Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com:
4 bits?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com 4 bits?”\n
Informações dadas:
  • número de bits: n=4.
  • objetivo: determinar o intervalo (menor e maior inteiro) que pode ser representado usando o esquema “complemento de 1” (ones’ complement) com 4 bits.

Passo 2

Explicando, de maneira bem prática, como funciona o esquema “complemento de 1” (sem pressa):\n
  • O primeiro bit (bit mais à esquerda) funciona como bit de sinal: 0 para números não-negativos e 1 para números negativos.
  • Números não-negativos (incluindo o zero) são codificados em binário “normal” usando os n bits com o primeiro bit igual a 0. Ou seja, para valores de 0 até o máximo que caiba nos n-1 bits restantes.
  • Números negativos são representados fazendo o complemento de cada bit da representação do valor positivo correspondente (ou seja, invertendo todos os bits). Ex.: se +3 é 0011, então -3 é a inversão bit a bit: 1100.
  • Importante: o esquema gera duas representações de zero: +0 (por exemplo 0000) e -0 (por exemplo 1111). Elas são dois padrões de bits diferentes que representam conceitualmente o mesmo valor zero.

Passo 3

Agora vamos derivar a fórmula geral do limite positivo (maior valor) representável com n bits em complemento de 1:\n
  • O maior número positivo ocorre quando o bit de sinal é 0 e todos os n-1 bits restantes são 1. Em binário isso é 0 seguido de n-1 uns. O valor decimal desse padrão é
2^{n-1}-1.
  • Pelo mesmo raciocínio, o menor número negativo (o mais negativo) terá magnitude igual a esse maior positivo, mas com sinal negativo. Logo o menor valor é
-(2^{n-1}-1).

Passo 4

Aplicando ao caso dado, com n=4:\n
  • Calculamos 2^{n-1}-1 = 2^{4-1}-1 = 2^{3}-1 = 8-1 = 7.
  • Portanto os valores vão desde -(2^{3}-1) até +(2^{3}-1), ou seja desde -7 até +7.

Passo 5

Para fixar com exemplos concretos (pegando os dados acima e mostrando as codificações em 4 bits):\n
  • Representações não-negativas (binário natural):
0000 \to 0,\quad 0001 \to 1,\quad 0010 \to 2,\quad 0011 \to 3,
0100 \to 4,\quad 0101 \to 5,\quad 0110 \to 6,\quad 0111 \to 7.
  • Representações negativas (cada uma é a inversão bit a bit do correspondente positivo):
1111 \to -0,\quad 1110 \to -1,\quad 1101 \to -2,\quad 1100 \to -3,
1011 \to -4,\quad 1010 \to -5,\quad 1001 \to -6,\quad 1000 \to -7.
Observação simpática: note que 0011 (que é +3) invertido dá 1100 (que é -3), mostrando o procedimento de complemento de 1.

Passo 6

Contagem e coerência final:\n
  • Existem 2^n = 16 padrões de 4 bits no total.
  • Como há duas representações distintas de zero ( 0000 e 1111), o número de inteiros diferentes representáveis é 2^n - 1 = 15.
  • Esses 15 valores correspondem exatamente ao conjunto \{-7,-6,\dots,-1,0,1,\dots,6,7\}, ou seja do menor -7 ao maior +7.

Resposta

[-7,\,7]

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