Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com:
4 bits?
4 bits?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-1, com 4 bits?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- número de bits:
. - objetivo: determinar o intervalo (menor e maior inteiro) que pode ser representado usando o esquema “complemento de 1” (ones’ complement) com
bits.
Passo 2
Explicando, de maneira bem prática, como funciona o esquema “complemento de 1” (sem pressa):\n
- O primeiro bit (bit mais à esquerda) funciona como bit de sinal:
para números não-negativos e para números negativos. - Números não-negativos (incluindo o zero) são codificados em binário “normal” usando os
bits com o primeiro bit igual a . Ou seja, para valores de até o máximo que caiba nos bits restantes. - Números negativos são representados fazendo o complemento de cada bit da representação do valor positivo correspondente (ou seja, invertendo todos os bits). Ex.: se
é , então é a inversão bit a bit: . - Importante: o esquema gera duas representações de zero:
(por exemplo ) e (por exemplo ). Elas são dois padrões de bits diferentes que representam conceitualmente o mesmo valor zero.
Passo 3
Agora vamos derivar a fórmula geral do limite positivo (maior valor) representável com
bits em complemento de 1:\n
- O maior número positivo ocorre quando o bit de sinal é
e todos os bits restantes são . Em binário isso é seguido de uns. O valor decimal desse padrão é
- Pelo mesmo raciocínio, o menor número negativo (o mais negativo) terá magnitude igual a esse maior positivo, mas com sinal negativo. Logo o menor valor é
Passo 4
Aplicando ao caso dado, com
:\n
- Calculamos
- Portanto os valores vão desde
até , ou seja desde até .
Passo 5
Para fixar com exemplos concretos (pegando os dados acima e mostrando as codificações em 4 bits):\n
- Representações não-negativas (binário natural):
- Representações negativas (cada uma é a inversão bit a bit do correspondente positivo):
Observação simpática: note que
(que é
) invertido dá
(que é
), mostrando o procedimento de complemento de 1.
Passo 6
Contagem e coerência final:\n
- Existem
padrões de bits no total. - Como há duas representações distintas de zero (
e ), o número de inteiros diferentes representáveis é . - Esses
valores correspondem exatamente ao conjunto , ou seja do menor ao maior .