Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com:
11 bits?

Passo 1

Enunciado: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2 com \,11\, bits?”\n
Informação dada: o número de bits é \,n=11\,.

Passo 2

Entendimento do que significa representar em complemento a dois (sem entrar em detalhes históricos): cada bit é 0 ou 1. Numeramos os bits de 0 (menos significativo) até n-1 (mais significativo). Denotando os bits por b_0,b_1,\dots,b_{n-2},b_{n-1}, a regra de valor em complemento a dois é
V = -b_{n-1}2^{\,n-1} + \sum_{i=0}^{\,n-2} b_i 2^{\,i}.
Aqui:
  • b_{n-1} é o bit mais significativo (MSB) e tem peso negativo quando vale 1 — é isso que faz o sistema representar números negativos naturalmente;
  • cada b_i com 0\le i\le n-2 tem peso 2^i como em representação binária usual;
  • cada b_i\in\{0,1\}.

Passo 3

Agora vamos ver quais escolhas de bits dão os valores máximo e mínimo possíveis (extremos) — isso determina o intervalo de representação.
  • Para obter o maior valor possível escolhemos b_{n-1}=0 (MSB zero, número positivo) e todos os outros bits b_i=1 para 0\le i\le n-2. Então
V_{\max}=\sum_{i=0}^{\,n-2}2^{\,i}=2^{\,n-1}-1.
Aqui usei a soma geométrica da série 1+2+4+\dots+2^{n-2} = 2^{n-1}-1.
  • Para obter o menor valor possível escolhemos b_{n-1}=1 e todos os outros b_i=0. Então
V_{\min}=-1\cdot 2^{\,n-1} + 0 = -2^{\,n-1}.
Portanto, com n bits em complemento a dois o intervalo geral é
\big[-2^{\,n-1},\;2^{\,n-1}-1\big].

Passo 4

Aplique isso ao caso \,n=11\,. Calculamos 2^{\,n-1}=2^{10}.
Podemos obter 2^{10} fazendo dobragens:
2^1=2,\;2^2=4,\;2^3=8,\;2^4=16,\;2^5=32,\;2^6=64,\;2^7=128,\;2^8=256,\;2^9=512,\;2^{10}=1024.
Logo 2^{10}-1=1024-1=1023.

Passo 5

Substituindo em \big[-2^{\,n-1},\;2^{\,n-1}-1\big] com n=11 obtemos o intervalo
\big[-1024,\;1023\big].
Para visualizar com exemplos binários de \,11\, bits (cada sequência abaixo está entre parênteses para mostrar os 11 bits):
  • \mathtt{10000000000} representa -1024 (MSB 1, demais 0);
  • \mathtt{01111111111} representa 1023 (MSB 0, demais 1);
  • \mathtt{11111111111} representa -1 (todas as bits 1).

Resposta

[-1024,\,1023]

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