Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável externa
varia em . - Para cada
fixo, a variável interna varia em . - O integrando é
(vou manter esse símbolo exatamente como dado).
O objetivo é escrever a mesma integral trocando a ordem de integração, primeiro eme depois em .
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A região
é dada por
Isso significa que, graficamente,
está entre as curvas
(parábola) e
(reta) para
entre
e
. Essas duas curvas se interceptam quando
, isto é, em
e
. Logo a região é um “folha” entre a parábola e a reta no intervalo
.
Passo 3
Para inverter a ordem, precisamos descrever
com
como variável externa: para cada
fixo, determinar quais valores de
satisfazem as desigualdades que definem
. Partimos das duas desigualdades que definem
:
Passo 4
Resolva cada desigualdade para
em função de
.
- Da desigualdade
tiramos
- Da desigualdade
e sabendo que (pois varia em ), temos
Portanto, para um
dado, os
que pertencem a
obedecem
Passo 5
Agora precisamos determinar para quais valores de
essa desigualdade faz sentido (isto é, para que
). Resolva
para
: elevando ambos os lados ao quadrado (permitido pois são não-negativos) obtém-se
, ou seja
, que dá
. Assim
. Isso coincide com a intuição: a região está entre
e
. Logo o parâmetro
deve variar em
.
Passo 6
Portanto, escrevendo a região
em termos de
primeiro, temos
Assim a integral com ordem invertida é
Comentário rápido para conferir: se
as duas integrais devem dar a mesma área. Calculando rapidamente,
e
confirmando que a troca está correta.