Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x} f(x, y)^{\prime} d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x} f(x, y)^{\prime}\, dy\right] dx.
Informações dadas:
  • A variável externa x varia em 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia em x^{2}\le y\le x.
  • O integrando é f(x,y)^{\prime} (vou manter esse símbolo exatamente como dado).
    O objetivo é escrever a mesma integral trocando a ordem de integração, primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). A região R é dada por
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x^{2}\le y\le x\}.
Isso significa que, graficamente, R está entre as curvas y=x^{2} (parábola) e y=x (reta) para x entre 0 e 1. Essas duas curvas se interceptam quando x^{2}=x, isto é, em x=0 e x=1. Logo a região é um “folha” entre a parábola e a reta no intervalo x\in[0,1].

Passo 3

Para inverter a ordem, precisamos descrever R com y como variável externa: para cada y fixo, determinar quais valores de x satisfazem as desigualdades que definem R. Partimos das duas desigualdades que definem R:
x^{2}\le y \qquad\text{e}\qquad y\le x.

Passo 4

Resolva cada desigualdade para x em função de y.
  • Da desigualdade y\le x tiramos
x\ge y.
  • Da desigualdade x^{2}\le y e sabendo que x\ge0 (pois x varia em [0,1]), temos
x\le \sqrt{y}.
Portanto, para um y dado, os x que pertencem a R obedecem
y \le x \le \sqrt{y}.

Passo 5

Agora precisamos determinar para quais valores de y essa desigualdade faz sentido (isto é, para que y\le\sqrt{y}). Resolva y\le\sqrt{y} para y\ge0: elevando ambos os lados ao quadrado (permitido pois são não-negativos) obtém-se y^{2}\le y, ou seja y^{2}-y\le0, que dá y( y-1)\le0. Assim y\in[0,1]. Isso coincide com a intuição: a região está entre y=0 e y=1. Logo o parâmetro y deve variar em 0\le y\le1.

Passo 6

Portanto, escrevendo a região R em termos de y primeiro, temos
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; y\le x\le \sqrt{y}\}.
Assim a integral com ordem invertida é
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y)^{\prime}\, dx\right] dy.
Comentário rápido para conferir: se f\equiv 1 as duas integrais devem dar a mesma área. Calculando rapidamente,
\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}
e
\int_{0}^{1}(\sqrt{y}-y)\,dy=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6},
confirmando que a troca está correta.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y)^{\prime}\, dx\right] dy

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