Joana está preparando kits de doces para distribuir entre alguns convidados. Há 36 brigadeiros e 42 cajuzinhos. Ela quer separá-los em pratos de modo a ocupar a menor quantidade de pratos mas, que todos os pratos tenham a mesma quantidade de doces e sem misturá-los. A quantidade de doces que Joana deverá colocar em cada prato, será de?
a) 5
b) 6
c) 8
d) 12
e) 21
a) 5
b) 6
c) 8
d) 12
e) 21
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: a Joana tem 36 brigadeiros e 42 cajuzinhos. Ela quer colocar esses doces em pratos de modo que:
- Cada prato tenha apenas brigadeiros ou apenas cajuzinhos (sem misturar).
- Todos os pratos (tanto os de brigadeiro quanto os de cajuzinho) tenham exatamente a mesma quantidade de doces.
- Ela use o menor número de pratos possível.
Conteúdo da matéria: máximo divisor comum (MDC) e divisão exata de inteiros.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender o que é divisor de um número;
- Calcular o MDC de 36 e 42;
- Usar esse MDC como “tamanho” de cada porção para minimizar o número de pratos.
Passo 2
Primeiro, lembra que um divisor de um número inteiro
é um número inteiro
tal que
não deixa resto. Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6, pois 6 é divisível por cada um deles.
O que queremos aqui é encontrar um valor
(número de doces por prato) que divida exatamente tanto 36 quanto 42, e que seja o maior possível. Esse maior valor se chama MDC(36,42).
Passo 3
Para calcular o MDC de 36 e 42, a gente pode usar o algoritmo de Euclides passo a passo ou fatoração. Vou mostrar a ideia rápida pela fatoração:
- 36 =
- 42 =
O MDC pega cada primo comum com o menor expoente:
- Primo 2: expoente mínimo é 1 → contribui com
. - Primo 3: expoente mínimo é 1 → contribui com
. - O 7 só aparece em 42, então não entra no MDC.
Logo
Passo 4
Isso significa que o maior número de doces que podemos colocar em cada prato, garantindo que 36 e 42 sejam divisíveis por ele, é 6. Assim:
- Para os brigadeiros (36) a gente usa
pratos. - Para os cajuzinhos (42) a gente usa
pratos.
São 13 pratos no total, e não dá pra usar menos pratos sem quebrar a regra de “mesma quantidade por prato” ou “sem misturar”.
Resposta
A quantidade de doces em cada prato deve ser 6.