Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
(iii) Se 0, então r é número fracionário em qualquer base selecionada.

Passo 1

O enunciado pede para julgar se a afirmação
(iii) Se , então é número fracionário em qualquer base selecionada.
é verdadeira ou falsa, e justificar.
Conteúdo: representação posicional de números em base .
O que vamos precisar:
  • Entender como se escreve um real em base .
  • Saber que “número fracionário” aqui significa ter parte depois da vírgula/“ponto” na base escolhida.

Passo 2

Antes de tudo, lembra o que é representação em base x = dots d2 d1 d0 d-1 d-2dotsb :
Qualquer real pode ser escrito como
onde cada dígito está em .
  • A parte inteira é .
  • A parte fracionária é .

Passo 3

Agora, se r = 0,l(alguns dígitosr)b , qual é a parte inteira de ?
Claro: a parte inteira é zero, porque é menor que 1 e maior que 0.
Logo em base a representação começa com
í
Isto é, não há dígito antes do ponto, só depois dele.

Passo 4

Mesmo que a sequência de dígitos depois do ponto seja finita (caso de frações “terminantes”) ou infinita periódica, ela existe e não é vazia.
Na prática, para gerar esses dígitos a gente faz o algoritmo de multiplicar por :
  1. .
  2. Para cada passo :
    • calcula , pega a parte inteira ,
    • e define .
      Como pode dar zero ou outro dígito, sempre sobra algo para a parte fracionária até o fim do processo.

Resposta

Verdadeiro.

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