Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
(iii) Se
, então
é número fracionário em qualquer base selecionada.
(iii) Se
Passo 1
O enunciado pede para julgar se a afirmação
(iii) Se, então é número fracionário em qualquer base selecionada.
é verdadeira ou falsa, e justificar.
Conteúdo: representação posicional de números em base.
O que vamos precisar:
- Entender como se escreve um real em base
. - Saber que “número fracionário” aqui significa ter parte depois da vírgula/“ponto” na base escolhida.
Passo 2
Antes de tudo, lembra o que é representação em base
:
Qualquer real pode ser escrito como
Qualquer real
onde cada dígito
está em
.
- A parte inteira é
. - A parte fracionária é
.
Passo 3
Agora, se
, qual é a parte inteira de
?
Claro: a parte inteira é zero, porque é menor que 1 e maior que 0.
Logo em base a representação começa com
Claro: a parte inteira é zero, porque
Logo em base
Isto é, não há dígito antes do ponto, só depois dele.
Passo 4
Mesmo que a sequência de dígitos depois do ponto seja finita (caso de frações “terminantes”) ou infinita periódica, ela existe e não é vazia.
Na prática, para gerar esses dígitos a gente faz o algoritmo de multiplicar por :
Na prática, para gerar esses dígitos a gente faz o algoritmo de multiplicar por
-
. - Para cada passo
: - calcula
, pega a parte inteira , - e define
.
Comopode dar zero ou outro dígito, sempre sobra algo para a parte fracionária até o fim do processo.
- calcula
Resposta
Verdadeiro.