Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver a EDO
Estamos vendo Transformada de Laplace em equações diferenciais de segunda ordem com valor inicial.
O que vamos precisar:
1) Definição de Laplace e propriedades lineares.
2) Fórmulas de transformada de derivadas:
-
-
3) Transformadas básicas:
-
-
4) Saber resolver frações parciais e aplicar a inversa.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados de
a gente faz:
Usando as fórmulas:
-
, -
, -
.
Então deu
Agrupando em
Passo 3
Isolando
:
Agora a gente faz frações parciais em
Como o numerador é ímpar em
, a forma é
Multiplicando tudo por
Comparando coeficientes:
- Coef. de
: - Termo independente:
Resolvendo:, .
Então
Logo
Passo 4
Agora a gente aplica a transformada inversa em cada parte:
-
, -
, -
.
Portanto