Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=cos (2 t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver a EDO
y'' + y = cos(2t),, y(0)=0,,;y'(0)=1,
Estamos vendo Transformada de Laplace em equações diferenciais de segunda ordem com valor inicial.
O que vamos precisar:
1) Definição de Laplace e propriedades lineares.
2) Fórmulas de transformada de derivadas:
- Ly'(t)=sY(s)-y(0)
- Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
3) Transformadas básicas:
- Lcos(at)=dfracss^2+a^2
- Lsin(at)=dfracas^2+a^2
4) Saber resolver frações parciais e aplicar a inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados de
y'' + y = cos(2t)
a gente faz:
Ly'' + Ly = Lcos(2t),
Usando as fórmulas:
  • Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-0cdot s-1 = s^2Y(s)-1,
  • Ly=Y(s),
  • Lcos(2t)=ss^2+4.
    Então deu
(s^2Y(s)-1) + Y(s) = ss^2+4,
Agrupando em Y(s):
(s^2+1),Y(s) -1 = ss^2+4Longrightarrow (s^2+1),Y(s) = 1 + ss^2+4,

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = 1s^2+1 ;+;s(s^2+4)(s^2+1),
Agora a gente faz frações parciais em
s(s^2+1)(s^2+4);
Como o numerador é ímpar em s, a forma é
s(s^2+1)(s^2+4) = A,ss^2+1 + B,ss^2+4,
Multiplicando tudo por (s^2+1)(s^2+4)
s = A,s,(s^2+4) + B,s,(s^2+1);Rightarrow;1 = A(s^2+4)+B(s^2+1),
Comparando coeficientes:
  • Coef. de s^2: A+B=0
  • Termo independente: 4A+B=1
    Resolvendo: A=1/3, B=-1/3.
    Então
s(s^2+1)(s^2+4) = 1/3;ss^2+1 ;-;1/3;ss^2+4,
Logo
Y(s)=1s^2+1 ;+;13,ss^2+1 ;-;13,ss^2+4,

Passo 4

Agora a gente aplica a transformada inversa em cada parte:
  • L^-1!tfrac1s^2+1 = sin t,
  • L^-1!tfracss^2+1 = cos t,
  • L^-1!tfracss^2+4 = cos(2t).
    Portanto
y(t) = sin t ;+;13cos t ;-;13cos(2t),

Resposta

boxedy(t) = sin t ;+;tfrac13cos t ;-;tfrac13cos(2t),

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