Justifique a convergência ou divergência das seguintes séries numéricas:
sumn=1^infty 3 n^2n(n+2)

Passo 1

Vamos recapitular: a questão pede para a gente justificar se a série

converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de séries numéricas infinitas, mais especificamente o teste da divergência (ou teste do termo geral). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Identificar o termo geral .
  2. Simplificar e calcular .
  3. Aplicar o teste da divergência: se o limite não for zero, a série diverge.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o termo geral:
an = 3,n^2n(n+2)
Agora, vamos simplificar:
an = 3,n^2n^2 + 2n = 3,n^2n^2l(1 + tfrac2nr) = 31 + tfrac2n
Para ver o comportamento quando limntoinfty an = limntoinfty 31 + 2/n = 31 + 0 = 3 cresce, calculamos o limite:
Usei aqui a ideia de que .

Passo 3

Teoria do teste da divergência: para uma série limntoinfty an = 3 neq 0, , se , então a série necessariamente diverge. No nosso caso vimos que
logo a condição mínima para convergência (termo geral tendendo a zero) já falhou.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero ( ).

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