Justifique a convergência ou divergência das seguintes séries numéricas:
Passo 1
Vamos recapitular: a questão pede para a gente justificar se a série
converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de séries numéricas infinitas, mais especificamente o teste da divergência (ou teste do termo geral). Para resolver, a gente vai precisar:
converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de séries numéricas infinitas, mais especificamente o teste da divergência (ou teste do termo geral). Para resolver, a gente vai precisar:
- Identificar o termo geral
. - Simplificar
e calcular . - Aplicar o teste da divergência: se o limite não for zero, a série diverge.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o termo geral:
Agora, vamos simplificar:
Para ver o comportamento quando
cresce, calculamos o limite:
Usei aqui a ideia de que
.
Passo 3
Teoria do teste da divergência: para uma série
, se
, então a série necessariamente diverge. No nosso caso vimos que
logo a condição mínima para convergência (termo geral tendendo a zero) já falhou.
Resposta
A série diverge, pois o termo geral não tende a zero (
).