Analise a convergência das seguintes séries:

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente analise se a série

converge ou diverge. Isso é conteúdo de séries numéricas: a gente vai usar um teste de convergência (no caso, o teste da raiz de Cauchy). Para isso precisamos lembrar:
  • Como funciona o teste da raiz;
  • Como calcular .

Passo 2

Primeiro, define o termo geral da série:
an ;=;l(tfracn^2+12n^2+1r)^n
O teste da raiz diz o seguinte: se
L ;=;limntoinftyraiz[n]|an|
existe e
  • , a série converge absolutamente;
  • , a série diverge;
  • , o teste falha e a gente precisa de outro.

Passo 3

Vamos calcular
raiz[n]|an| ;=;l(l|tfracn^2+12n^2+1r|^nr)^1/n ;=;n^2+12n^2+1
Repara que, para limntoinftyn^2+12n^2+1 ;=; 12 grande, tanto quanto são dominados pelos termos e . Ou seja,

Passo 4

Como esse limite é menor que 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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