l 1^circ, forall B1, B2 in P, B1 neq B2 Rightarrow B1 cap B2=emptyset 2^circ, cupB in P B=A
a) Prove que: se x, y in A e definimos x sim y Leftrightarrow exists B in P tal que x, y in B, então essa relação é de equivalência. Mais ainda, o conjunto das classes de equivalência A / sim=P. Dizemos que sim é induzida pela partição P.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é trabalhar com partições e relações de equivalência. O enunciado diz que temos um conjunto x sim y Leftrightarrow existe um bloco BinP com x,yin B e uma partição dele, ou seja:
1°) Cada duas partes em são disjuntas.
2°) A união de todas as partes dá .
A gente define uma relação em assim:
Precisamos provar duas coisas:
a) é de equivalência (ou seja, reflexiva, simétrica e transitiva).
b) As classes de equivalência de coincidem exatamente com os blocos de ; em símbolos, .
Para isso, vamos usar a definição de relação de equivalência e de classe de equivalência.

Passo 2

Mostrar que é reflexiva.
Definição: uma relação é reflexiva se para todo , .
Como é uma partição que cobre , para cada existe pelo menos um bloco tal que . Mas aí e estão no mesmo , logo .
Conclusão: é reflexiva.

Passo 3

Mostrar que é simétrica.
Definição: simétrica quer dizer: se , então .
Suponha . Então existe um bloco com . Mas isso não distingue ordem: se , também . Logo .
Conclusão: é simétrica.

Passo 4

Mostrar que é transitiva.
Definição: transitiva significa: se e , então .
  • implica que existe com .
  • implica que existe com .
Como em uma partição blocos são ou iguais ou disjuntos, e pertence a ambos e , a única saída é . Então e estão juntos nesse mesmo bloco, ou seja, .
Conclusão: é transitiva.
Até aqui, como é reflexiva, simétrica e transitiva, é de equivalência.

Passo 5

Mostrar que as classes de equivalência são os blocos de [x] ;=;,yin A : ysim x .
Lembrando que, para relação de equivalência , a classe de equivalência de um é
(a) Primeiro, dado , ele está em algum bloco .
  • Se , então está no mesmo bloco que , logo .
  • Reciprocamente, todo tem .
    Conclusão: . Isso mostra que cada classe é exatamente um bloco de .
(b) Por outro lado, cada bloco é para qualquer .
Portanto o conjunto de todas as classes de equivalência é igual a .

Resposta

A relação é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é de equivalência. Além disso, cada classe de equivalência coincide com um bloco da partição , de modo que .

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