Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
l I1=integral0^1 / 5 raiz[5]1+x^2 d x I2=integral0^1 / 2 raiz1+x^3 d x
Assinale a alternativa correta.
O número 15+13 cdot 5^4 aproxima o valor de I1 com |erro| inferior a 45^8, mas o número 12+12^7 não aproxima o valor de I2 com |erro| inferior a 17 cdot 2^9.

Passo 1

Opa! Então a questão pede pra gente analisar duas integrais
I1=integral0^1/5(1+x^2)^1/5dx e I2=integral0^1/2(1+x^3)^1/2dx
e ver se as aproximações dadas
15+13cdot5^4 e 12+12^7
têm erro menor que
45^8 e 17cdot2^9,
respectivamente.
Conteúdo: expansão em série de Taylor (Maclaurin) até certo termo + estimativa do resto (residual).
O que vamos precisar:
  1. Derivar as funções Rn <= maxxiin[0,h]|f^(n+1)(xi)|(n+1)!,h^n+1 e até a ordem necessária.
  2. Montar o polinômio de Taylor em torno de 0 e integrar termo a termo.
  3. Estimar o resto pela forma de Lagrange:

Passo 2

  1. Definimos
    f(x)approx f(0)+f'(0)x+tfracf''(0)2x^2 =1+0cdot x+tfrac2/52x^2 =1+tfracx^25
  2. Calculamos derivadas em 0 até a 2ª ou 3ª ordem:
    • I1approx integral0^1/5l(1+tfracx^25r)dx =l[x+tfracx^315r]0^1/5 =tfrac15+tfrac13cdot5^4 .
    • |R2|<=max|f^(3)(xi)|3!,h^3 com h=15, .
  3. A série de Taylor até 2º grau em torno de 0 é
  4. Integramos de 0 até :
  5. Resto de Lagrange (usando a derivada de ordem 3): e dá no máximo . Então a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

  1. Agora g(x)approx 1+0cdot x+0cdot x^2+36x^3 =1+x^32 .
  2. Derivadas em 0 até a 3ª ordem:
    • I2approxintegral0^1/2l(1+tfracx^32r)dx =l[x+tfracx^48r]0^1/2 =tfrac12+tfrac12^7 .
    • |R3|<=max|g^(4)(xi)|4!,h^4 com h=12 .
    • |R3|;>;17cdot2^9, .
    • calculada em 0 dá .
  3. Taylor até a 3ª ordem:
  4. Integramos de 0 até :
  5. Resto de Lagrange para o 3º grau: Se você calcular direitinho em , vai ver que então não dá pra garantir erro menor que . A segunda afirmação é falsa.

Resposta

A primeira aproximação (para ) está correta com erro menor que , mas a segunda (para ) não garante erro menor que .

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