Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
Assinale a alternativa correta.
O número
aproxima o valor de
com |erro| inferior a
, mas o número
não aproxima o valor de
com |erro| inferior a
.
O número
Passo 1
Opa! Então a questão pede pra gente analisar duas integrais
e ver se as aproximações dadas
têm erro menor que
respectivamente.
Conteúdo: expansão em série de Taylor (Maclaurin) até certo termo + estimativa do resto (residual).
O que vamos precisar:
Conteúdo: expansão em série de Taylor (Maclaurin) até certo termo + estimativa do resto (residual).
O que vamos precisar:
- Derivar as funções
e até a ordem necessária. - Montar o polinômio de Taylor em torno de 0 e integrar termo a termo.
- Estimar o resto pela forma de Lagrange:
Passo 2
- Definimos
- Calculamos derivadas em 0 até a 2ª ou 3ª ordem:
-
. -
. -
-
- A série de Taylor até 2º grau em torno de 0 é
- Integramos de 0 até
: - Resto de Lagrange (usando a derivada de ordem 3):
e dá no máximo . Então a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
- Agora
. - Derivadas em 0 até a 3ª ordem:
-
. -
. -
. -
calculada em 0 dá .
-
- Taylor até a 3ª ordem:
- Integramos de 0 até
: - Resto de Lagrange para o 3º grau:
Se você calcular direitinho em , vai ver que então não dá pra garantir erro menor que . A segunda afirmação é falsa.
Resposta
A primeira aproximação (para
) está correta com erro menor que
, mas a segunda (para
) não garante erro menor que
.