Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
l I1=integral0^1 / 5 raiz[5]1+x^2 d x I2=integral0^1 / 2 raiz1+x^3 d x
Assinale a alternativa correta.
O número 15+13 cdot 5^3 não aproxima o valor de I1 com |erro| inferior a 45^8, mas o número 12+12^7 aproxima sim o valor de I2 com |erro| inferior a 17 cdot 2^9.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas integrais definidas:
I1=integral0^1 / 5 raiz[5]1+x^2 , dx e I2=integral0^1 / 2 raiz1+x^3 , dx
A pergunta quer que a gente verifique se certas aproximações para $ I_{1} $ e $ I_{2} $ estão dentro de um erro aceitável. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar integrais definidas e calcular o erro dessas aproximações usando séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral $ I_{1} $. A função dentro da integral é $ \sqrt[5]{1+x^{2}} $, que podemos reescrever como $ (1 + x{2}){1/5} $. Para aproximar essa função, vamos usar a série de Taylor em torno de $ x = 0 $:
I1
Aqui, $ n = \frac{1}{5} $, então:
raiz[5]1+x^2

Passo 3

Agora, vamos integrar essa aproximação de $ I_{1} $:
I1
Calculando as integrais:
I1 approx integral0^1/5 (1 + 15x^2) dx = integral0^1/5 1 , dx + 15 integral0^1/5 x^2 , dx
integral0^1/5 1 , dx = x |0^1/5 = 15
Somando tudo:
15 integral0^1/5 x^2 , dx = 15 x^33 |0^1/5 = 15 cdot (1/5)^33 = 15 cdot 1375 = 11875

Passo 4

Agora, vamos verificar o erro dessa aproximação. A próxima termo na série de Taylor para $ (1 + x{2}){1/5} $ é $ \frac{-4}{75}x^{4} $. O erro absoluto será menor que o valor desse termo avaliado no intervalo de integração:
(1 + x^2)^1/5
Isso confirma que a aproximação $ \frac{1}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5^{3}} $ para $ I_{1} $ tem um erro menor que $ \frac{4}{5^{8}} $.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a integral $ I_{2} $. A função dentro da integral é $ \sqrt{1+x^{3}} $, que é $ (1 + x{3}){1/2} $. Usando a série de Taylor:
I2
Aqui, $ n = \frac{1}{2} $, então:
raiz1+x^3

Passo 6

Integramos essa aproximação para $ I_{2} $:
I2
Calculando as integrais:
I2 approx integral0^1/2 (1 + 12x^3) dx = integral0^1/2 1 , dx + 12 integral0^1/2 x^3 , dx
integral0^1/2 1 , dx = x |0^1/2 = 12
Somando tudo:
12 integral0^1/2 x^3 , dx = 12 x^44 |0^1/2 = 12 cdot (1/2)^44 = 12 cdot 164 = 1128

Passo 7

Vamos verificar o erro dessa aproximação. O próximo termo na série de Taylor para $ (1 + x{3}){1/2} $ é $ \frac{-1}{8}x^{6} $. O erro absoluto será menor que o valor desse termo no intervalo de integração:
(1 + x^3)^1/2
Isso mostra que a aproximação $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{7}} $ para $ I_{2} $ tem um erro menor que $ \frac{1}{7 \cdot 2^{9}} $.

Resposta

A afirmação está correta: o número $ \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} $ não aproxima $ I_{1} $ com erro inferior a $ \frac{4}{5^{8}} $, mas o número $ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} $ aproxima $ I_{2} $ com erro inferior a $ \frac{1}{7 \cdot 2^{9}} $.

Exercícios relacionados