Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
Assinale a alternativa correta.
O número
não aproxima o valor de
com |erro| inferior a
, mas o número
aproxima sim o valor de
com |erro| inferior a
.
O número
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas integrais definidas:
A pergunta quer que a gente verifique se certas aproximações para $ I_{1} $ e $ I_{2} $ estão dentro de um erro aceitável. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar integrais definidas e calcular o erro dessas aproximações usando séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral $ I_{1} $. A função dentro da integral é $ \sqrt[5]{1+x^{2}} $, que podemos reescrever como $ (1 + x{2}){1/5} $. Para aproximar essa função, vamos usar a série de Taylor em torno de $ x = 0 $:
Aqui, $ n = \frac{1}{5} $, então:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa aproximação de $ I_{1} $:
Calculando as integrais:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos verificar o erro dessa aproximação. A próxima termo na série de Taylor para $ (1 + x{2}){1/5} $ é $ \frac{-4}{75}x^{4} $. O erro absoluto será menor que o valor desse termo avaliado no intervalo de integração:
Isso confirma que a aproximação $ \frac{1}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5^{3}} $ para $ I_{1} $ tem um erro menor que $ \frac{4}{5^{8}} $.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a integral $ I_{2} $. A função dentro da integral é $ \sqrt{1+x^{3}} $, que é $ (1 + x{3}){1/2} $. Usando a série de Taylor:
Aqui, $ n = \frac{1}{2} $, então:
Passo 6
Integramos essa aproximação para $ I_{2} $:
Calculando as integrais:
Somando tudo:
Passo 7
Vamos verificar o erro dessa aproximação. O próximo termo na série de Taylor para $ (1 + x{3}){1/2} $ é $ \frac{-1}{8}x^{6} $. O erro absoluto será menor que o valor desse termo no intervalo de integração:
Isso mostra que a aproximação $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{7}} $ para $ I_{2} $ tem um erro menor que $ \frac{1}{7 \cdot 2^{9}} $.
Resposta
A afirmação está correta: o número $ \frac{1}{5}+\frac{1}{3 \cdot 5^{3}} $ não aproxima $ I_{1} $ com erro inferior a $ \frac{4}{5^{8}} $, mas o número $ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{7}} $ aproxima $ I_{2} $ com erro inferior a $ \frac{1}{7 \cdot 2^{9}} $.