Seja A um conjunto não vazio e P(A) o conjunto das partes de A. Dizemos que um conjunto não vazio P subset P(A) é uma partição do conjunto A quando
l 1^circ, forall B1, B2 in P, B1 neq B2 Rightarrow B1 cap B2=emptyset 2^circ, cupB in P B=A
Considere o conjunto A=0,1,2,3,4 e a partição P=0,3,4,1,2. Determine a relação R induzida por essa partição.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto
A = 0,1,2,3,4
e uma partição
P = l0,3,4, 1, 2r
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de partição de um conjunto.
  • Relação de equivalência induzida por partição.
  • Produto cartesiano de conjuntos.
O que precisamos fazer: determinar a relação (x,y)in R iff x e y estão no mesmo bloco de P em tal que
ã

Passo 2

Teoria que vamos aplicar:
  1. Se R ;=;cupBinP l(Btimes Br) é uma partição de , a relação induzida é
  2. Lembre:
    • .
    • Isso garante reflexividade, simetria e transitividade (é uma equivalência).

Passo 3

Calcular cada bloco ao quadrado (produto cartesiano):
  1. Para 0,3,4times0,3,4 =(0,0),(0,3),(0,4),(3,0),(3,3),(3,4),(4,0),(4,3),(4,4) : 1times1 = (1,1)
  2. Para 2times2 = (2,2) :
  3. Para :

Resposta

Juntando tudo, a relação R = (0,0),(0,3),(0,4),(3,0),(3,3),(3,4),(4,0),(4,3),(4,4),;(1,1),;(2,2) induzida por é

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