Se x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2019} são as raízes de P(x)=x^{2019}+2019 x-1, determine o valor de \sum_{i=1}^{2019}\left(\frac{x_{i}}{x_{i}-1}\right).
A) 1
B) 2017
C) 2018
D) 2019
E) 2020

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^{2019}+2019x-1 e informa que x_{1},x_{2},\ldots,x_{2019} são as suas raízes. A pergunta é calcular
\sum_{i=1}^{2019}\left(\frac{x_{i}}{x_{i}-1}\right).
Informações relevantes: o grau do polinômio é 2019; os x_i são todas as raízes (possivelmente complexas) de P. Não há outras hipóteses no enunciado.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica útil. Para qualquer x que não seja 1 vale a identidade
\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.
Aplicando isso a cada raiz x_i obtemos
\sum_{i=1}^{2019}\frac{x_i}{x_i-1}=\sum_{i=1}^{2019}\left(1+\frac{1}{x_i-1}\right)=2019+\sum_{i=1}^{2019}\frac{1}{x_i-1}.
Portanto basta calcular \displaystyle\sum_{i=1}^{2019}\frac{1}{x_i-1}.

Passo 3

É conveniente fazer a mudança de variável y=x-1. Defina y_i=x_i-1 (são as raízes deslocadas) e o polinômio
Q(y)=P(y+1)=(y+1)^{2019}+2019(y+1)-1.
Então y_1,\dots,y_{2019} são as raízes de Q, e queremos \displaystyle\sum_{i=1}^{2019}\frac{1}{y_i}. Antes de prosseguir, verificar que nenhum x_i é igual a 1 (porque aí teríamos divisão por zero): calcule
P(1)=1^{2019}+2019\cdot1-1=2019\neq0,
logo realmente nenhum x_i é 1 e todos os y_i são não nulos.

Passo 4

Relacionamento padrão entre derivada e soma de recíprocos de raízes (explicação didática). Se
Q(y)=a_n\prod_{i=1}^{n}(y-y_i),
então a derivada divide o polinômio dá
\frac{Q'(y)}{Q(y)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{y-y_i}.
Avaliar em y=0
\frac{Q'(0)}{Q(0)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{0-y_i}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{y_i}.
Portanto
\sum_{i=1}^{2019}\frac{1}{y_i}=-\frac{Q'(0)}{Q(0)}.
(Essa é uma forma prática de obter a soma dos recíprocos das raízes sem expandir coeficientes.)

Passo 5

Calcular Q(0) e Q'(0). Usando Q(y)=(y+1)^{2019}+2019(y+1)-1,
Q(0)=P(1)=1^{2019}+2019\cdot1-1=2019.
Derivando Q,
Q'(y)=2019(y+1)^{2018}+2019,
logo
Q'(0)=2019\cdot1^{2018}+2019=2019+2019=4038.

Passo 6

Agora usar a fórmula do passo 4:
\sum_{i=1}^{2019}\frac{1}{y_i}=-\frac{Q'(0)}{Q(0)}=-\frac{4038}{2019}=-2.
Voltando à soma original,
\sum_{i=1}^{2019}\frac{x_i}{x_i-1}=2019+\sum_{i=1}^{2019}\frac{1}{x_i-1}=2019+(-2)=2017.

Resposta

B) 2017

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