Se
são as raízes de
, determine o valor de
.
A) 1
B) 2017
C) 2018
D) 2019
E) 2020
A) 1
B) 2017
C) 2018
D) 2019
E) 2020
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
são as suas raízes. A pergunta é calcular
Informações relevantes: o grau do polinômio é
; os
são todas as raízes (possivelmente complexas) de
. Não há outras hipóteses no enunciado.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica útil. Para qualquer
que não seja
vale a identidade
Aplicando isso a cada raiz
obtemos
Portanto basta calcular
.
Passo 3
É conveniente fazer a mudança de variável
. Defina
(são as raízes deslocadas) e o polinômio
Então
são as raízes de
, e queremos
. Antes de prosseguir, verificar que nenhum
é igual a
(porque aí teríamos divisão por zero): calcule
logo realmente nenhum
é
e todos os
são não nulos.
Passo 4
Relacionamento padrão entre derivada e soma de recíprocos de raízes (explicação didática). Se
então a derivada divide o polinômio dá
Avaliar em
dá
Portanto
(Essa é uma forma prática de obter a soma dos recíprocos das raízes sem expandir coeficientes.)
Passo 5
Calcular
e
. Usando
,
Derivando
,
logo
Passo 6
Agora usar a fórmula do passo 4:
Voltando à soma original,
Resposta
B) 2017