(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2024 - modificada) Um círculo é interessante se seu centro estiver no eixo Y e for tangente à hipérbole
, cujo vértice no ramo direito é A. Quando dois círculos interessantes
e
são externamente tangentes em P, existe uma constante
tal que
sempre verifica. O valor de
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e) 3
a)
b)
c)
d)
e) 3
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação constante:
- A hipérbole é
. O vértice do ramo direito é (portanto ). - Um círculo é chamado de “interessante” se o centro estiver no eixo
(isto é, em algum ponto ) e o círculo for tangente à hipérbole. - Dois círculos interessantes
e (aqui denota o centro do -ésimo círculo) são externamente tangentes num ponto . - Há uma constante
tal que sempre vale a igualdade (onde é a distância entre os centros dos círculos e é a distância entre e ).
O objetivo é encontrar o valor dessa constante.
Passo 2
Vamos modelar um círculo interessante. Seja um círculo com centro em
e raio
. A equação do círculo é
Como o círculo é tangente à hipérbole, existe um ponto
que satisfaz simultaneamente
A ideia prática: eliminar
usando a equação da hipérbole e obter uma equação em
. Para tangência entre curva algébrica e círculo, essa equação em
terá uma raiz dupla (discriminante zero). Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Eliminando
pela hipérbole,
. Substituindo na equação do círculo:
Expandindo e arrumando termos:
Isto é uma equação quadrática em
:
Para que haja tangência (uma única solução para
, raiz dupla), o discriminante desta quadrática deve ser zero. O discriminante é
Impondo
e simplificando:
Dividindo por
:
Portanto, a relação entre o centro
e o raio
de um círculo interessante é
Explicação breve do que cada símbolo é:
é a coordenada
do centro do círculo,
seu raio.
Passo 4
Agora trate os dois círculos. Seja
com raio
e
com raio
. Eles são externamente tangentes no ponto
. Como os centros estão no eixo
, a reta que une os centros é a própria reta
; logo o ponto de tangência
tem coordenadas
para algum
. Para tangência externa entre círculos com centros na mesma reta vertical vale:
ou seja
A distância entre os centros (o segmento
) é simplesmente
Também o comprimento
(distância entre
e
) é
Passo 5
Agora aplicamos a condição do Passo 3 aos dois círculos, usando
e
:
Substituindo
e
em cada uma:
Para o primeiro:
Para o primeiro:
Para o segundo:
Passo 6
Subtraindo a segunda equação da primeira (ou manipulando convenientemente) obtemos:
Factorizando
e cancelando
(não é zero), resulta
Agora somando as duas equações (em vez de subtrair) resulta em:
ou seja
Mas há um caminho ainda mais direto: resolver explicitamente
e
pelas suas equações quadráticas. A primeira quadrática dá
A segunda dá
Para que
sejam positivos, escolhemos o sinal
em ambas as fórmulas (a raiz positiva). Assim, definindo
temos
Passo 7
Agora calcule
e
:
E já tínhamos
Dividindo,
Portanto a razão é independente de
(é constante) e vale
.