(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2024 - modificada) Um círculo é interessante se seu centro estiver no eixo Y e for tangente à hipérbole x^{2}-y^{2}=1, cujo vértice no ramo direito é A. Quando dois círculos interessantes O_{1} e O_{2} são externamente tangentes em P, existe uma constante k tal que O_{1} O_{2}=k . A P sempre verifica. O valor de k é igual a:
a) \sqrt{2}
b) \sqrt{3}
c) \frac{\sqrt{2}}{2}
d) \frac{3}{2}
e) 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação constante:
  • A hipérbole é \;x^{2}-y^{2}=1\;. O vértice do ramo direito é A (portanto A=(1,0)).
  • Um círculo é chamado de “interessante” se o centro estiver no eixo y (isto é, em algum ponto (0,c)) e o círculo for tangente à hipérbole.
  • Dois círculos interessantes O_{1} e O_{2} (aqui O_{i} denota o centro do i-ésimo círculo) são externamente tangentes num ponto P.
  • Há uma constante k tal que sempre vale a igualdade \;O_{1}O_{2}=k\cdot AP\; (onde O_{1}O_{2} é a distância entre os centros dos círculos e AP é a distância entre A e P).
    O objetivo é encontrar o valor dessa constante k.

Passo 2

Vamos modelar um círculo interessante. Seja um círculo com centro em (0,c) e raio r. A equação do círculo é
x^{2}+(y-c)^{2}=r^{2}.
Como o círculo é tangente à hipérbole, existe um ponto (x,y) que satisfaz simultaneamente
x^{2}-y^{2}=1 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+(y-c)^{2}=r^{2}.
A ideia prática: eliminar x^{2} usando a equação da hipérbole e obter uma equação em y. Para tangência entre curva algébrica e círculo, essa equação em y terá uma raiz dupla (discriminante zero). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Eliminando x^{2} pela hipérbole, x^{2}=1+y^{2}. Substituindo na equação do círculo:
1+y^{2}+(y-c)^{2}=r^{2}.
Expandindo e arrumando termos:
1+y^{2}+y^{2}-2cy+c^{2}=r^{2}
2y^{2}-2cy+(1+c^{2}-r^{2})=0.
Isto é uma equação quadrática em y:
2y^{2}-2c y+(1+c^{2}-r^{2})=0.
Para que haja tangência (uma única solução para y, raiz dupla), o discriminante desta quadrática deve ser zero. O discriminante é
\Delta = (-2c)^{2}-4\cdot 2\cdot(1+c^{2}-r^{2}).
Impondo \Delta=0 e simplificando:
4c^{2}-8(1+c^{2}-r^{2})=0
4c^{2}-8-8c^{2}+8r^{2}=0
8r^{2}-4c^{2}-8=0.
Dividindo por 4:
2r^{2}-c^{2}-2=0.
Portanto, a relação entre o centro (0,c) e o raio r de um círculo interessante é
\boxed{r^{2}=\frac{c^{2}+2}{2}}.
Explicação breve do que cada símbolo é: c é a coordenada y do centro do círculo, r seu raio.

Passo 4

Agora trate os dois círculos. Seja O_{1}=(0,y_{1}) com raio r_{1} e O_{2}=(0,y_{2}) com raio r_{2}. Eles são externamente tangentes no ponto P. Como os centros estão no eixo y, a reta que une os centros é a própria reta x=0; logo o ponto de tangência P tem coordenadas (0,y_{p}) para algum y_{p}. Para tangência externa entre círculos com centros na mesma reta vertical vale:
y_{1}-y_{p}=r_{1},\qquad y_{p}-y_{2}=r_{2},
ou seja
y_{1}=y_{p}+r_{1},\qquad y_{2}=y_{p}-r_{2}.
A distância entre os centros (o segmento O_{1}O_{2}) é simplesmente
O_{1}O_{2}=|y_{1}-y_{2}|=y_{1}-y_{2}=r_{1}+r_{2}.
Também o comprimento AP (distância entre A=(1,0) e P=(0,y_{p})) é
AP=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y_{p})^{2}}=\sqrt{1+y_{p}^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a condição do Passo 3 aos dois círculos, usando c=y_{1} e c=y_{2}:
r_{1}^{2}=\frac{y_{1}^{2}+2}{2},\qquad r_{2}^{2}=\frac{y_{2}^{2}+2}{2}.
Substituindo y_{1}=y_{p}+r_{1} e y_{2}=y_{p}-r_{2} em cada uma:
Para o primeiro:
r_{1}^{2}=\frac{(y_{p}+r_{1})^{2}+2}{2}\quad\Longrightarrow\quad r_{1}^{2}-2y_{p}r_{1}-(y_{p}^{2}+2)=0.
Para o segundo:
r_{2}^{2}=\frac{(y_{p}-r_{2})^{2}+2}{2}\quad\Longrightarrow\quad r_{2}^{2}+2y_{p}r_{2}-(y_{p}^{2}+2)=0.

Passo 6

Subtraindo a segunda equação da primeira (ou manipulando convenientemente) obtemos:
(r_{1}^{2}-r_{2}^{2})-2y_{p}(r_{1}+r_{2})=0.
Factorizando r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(r_{1}-r_{2})(r_{1}+r_{2}) e cancelando r_{1}+r_{2} (não é zero), resulta
r_{1}-r_{2}=2y_{p}.
Agora somando as duas equações (em vez de subtrair) resulta em:
r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-6y_{p}^{2}-4=0,
ou seja
r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=6y_{p}^{2}+4.
Mas há um caminho ainda mais direto: resolver explicitamente r_{1} e r_{2} pelas suas equações quadráticas. A primeira quadrática dá
r_{1}=y_{p}\pm\sqrt{2(y_{p}^{2}+1)}.
A segunda dá
r_{2}=-y_{p}\pm\sqrt{2(y_{p}^{2}+1)}.
Para que r_{1},r_{2} sejam positivos, escolhemos o sinal + em ambas as fórmulas (a raiz positiva). Assim, definindo
s=\sqrt{2(y_{p}^{2}+1)}=\sqrt{2}\sqrt{y_{p}^{2}+1},
temos
r_{1}=y_{p}+s,\qquad r_{2}=-y_{p}+s.

Passo 7

Agora calcule O_{1}O_{2}=r_{1}+r_{2} e AP:
O_{1}O_{2}=r_{1}+r_{2}=(y_{p}+s)+(-y_{p}+s)=2s=2\sqrt{2}\,\sqrt{y_{p}^{2}+1}.
E já tínhamos
AP=\sqrt{1+y_{p}^{2}}.
Dividindo,
\frac{O_{1}O_{2}}{AP}=\frac{2\sqrt{2}\,\sqrt{y_{p}^{2}+1}}{\sqrt{y_{p}^{2}+1}}=2\sqrt{2}.
Portanto a razão é independente de y_{p} (é constante) e vale 2\sqrt{2}.

Resposta

\;2\sqrt{2}\;

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