(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2024 - modificada) Sejam A=\left\{x \in \mathcal{R} ; x^{2}-10 x+a \leq 0\right\} e B=\left\{x \in \mathcal{R} ; b x \leq b^{3}\right\}, onde a e b são números reais. Se A \cap B= [4,9], então o valor de a+b é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e)9

Passo 1

O enunciado dá:
  • A=\{x\in\mathbb{R};\;x^{2}-10x+a\le 0\}.
  • B=\{x\in\mathbb{R};\;b x\le b^{3}\}.
  • a e b são números reais.
  • Sabe-se que A\cap B=[4,9].
O que é pedido:
  • Determinar o valor de a+b.

Passo 2

Entendendo o conjunto A.
A desigualdade x^{2}-10x+a\le 0 é uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo, logo a região onde ela é \le 0 é o intervalo entre as raízes (quando existem). As raízes da função quadrática são dadas pela fórmula quadrática:
x=\frac{10\pm\sqrt{100-4a}}{2}=5\pm\sqrt{25-a}.
Definindo d=\sqrt{25-a} (exigindo 25-a\ge 0, isto é a\le 25), temos
A=[\,5-d,\;5+d\,].
Aqui 5-d é a menor raiz e 5+d a maior; o intervalo A é centrado em 5 e tem comprimento 2d.

Passo 3

Entendendo o conjunto B.
A desigualdade b x\le b^{3} tem três casos segundo o valor de b:
  • Se b=0, então b x\le b^{3} vira 0\le 0, que é verdadeira para todo x. Logo B=\mathbb{R}.
  • Se b>0, divide-se por b e obtém-se x\le b^{2}, logo B=(-\infty,b^{2}].
  • Se b<0, divide-se por b e a desigualdade inverte: x\ge b^{2}, logo B=[b^{2},\infty).
Vou testar cada caso usando a condição A\cap B=[4,9].

Passo 4

Caso b=0.
Se B=\mathbb{R}, então A\cap B=A e, pela condição, isso exigiria A=[4,9]. Mas A tem sempre soma das raízes igual a 10 (coeficiente de x com sinal trocado), logo as duas extremidades de A somam 10. Se A=[4,9] as extremidades somariam 4+9=13\ne 10. Isso é contraditório. Portanto b\ne 0.

Passo 5

Caso b>0.
Aqui B=(-\infty,b^{2}]. A interseção A\cap B será o intervalo
A\cap B=[\,5-d,\;\min(5+d,b^{2})\,].
Pela hipótese isto deve ser [4,9]. Assim a extremidade esquerda manda 5-d=4 e a extremidade direita manda \min(5+d,b^{2})=9.
Da esquerda: 5-d=4 implica d=1, então 5+d=6. Assim A=[4,6].
Da direita: \min(6,b^{2})=9 não pode ocorrer porque \min(6,b^{2})\le 6<9. Logo não há solução com b>0. Portanto b>0 é impossível.

Passo 6

Caso b<0.
Aqui B=[b^{2},\infty). A interseção é
A\cap B=[\,\max(5-d,b^{2}),\;5+d\,].
Isso deve ser igual a [4,9]. Portanto a extremidade direita exige 5+d=9, e a extremidade esquerda exige \max(5-d,b^{2})=4.
Da direita: 5+d=9 implica d=4. Então 5-d=1. Assim A=[1,9].
Da esquerda: \max(1,b^{2})=4. Como 1<4, deve ocorrer b^{2}=4. Como estamos no caso b<0, segue b=-2.
Verificação rápida: com b=-2 temos B=[b^{2},\infty)=[4,\infty) e com A=[1,9] a interseção é de fato [4,9], que bate com a hipótese.

Passo 7

Determinar a.
Sabendo que A=[1,9] são as raízes da quadrática, o produto das raízes é a (coeficiente independente, pois a equação é x^{2}-10x+a=0). Logo
a=1\cdot 9=9.
Já encontramos b=-2. Portanto
a+b=9+(-2)=7.

Resposta

c) 7

Exercícios relacionados