(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2024 - modificada) Sejam
e
, onde
e
são números reais. Se
, então o valor de
é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e)9
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e)9
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
. -
e são números reais. - Sabe-se que
.
O que é pedido:
- Determinar o valor de
.
Passo 2
Entendendo o conjunto
.
A desigualdade é uma parábola com coeficiente de
positivo, logo a região onde ela é
é o intervalo entre as raízes (quando existem). As raízes da função quadrática são dadas pela fórmula quadrática:
A desigualdade
Definindo
(exigindo
, isto é
), temos
Aqui
é a menor raiz e
a maior; o intervalo
é centrado em
e tem comprimento
.
Passo 3
Entendendo o conjunto
.
A desigualdade tem três casos segundo o valor de
:
A desigualdade
- Se
, então vira , que é verdadeira para todo . Logo . - Se
, divide-se por e obtém-se , logo . - Se
, divide-se por e a desigualdade inverte: , logo .
Vou testar cada caso usando a condição
.
Passo 4
Caso
.
Se , então
e, pela condição, isso exigiria
. Mas
tem sempre soma das raízes igual a
(coeficiente de
com sinal trocado), logo as duas extremidades de
somam
. Se
as extremidades somariam
. Isso é contraditório. Portanto
.
Se
Passo 5
Caso
.
Aqui . A interseção
será o intervalo
Aqui
Pela hipótese isto deve ser
. Assim a extremidade esquerda manda
e a extremidade direita manda
.
Da esquerda:
implica
, então
. Assim
.
Da direita:
não pode ocorrer porque
. Logo não há solução com
. Portanto
é impossível.
Passo 6
Caso
.
Aqui . A interseção é
Aqui
Isso deve ser igual a
. Portanto a extremidade direita exige
, e a extremidade esquerda exige
.
Da direita:
implica
. Então
. Assim
.
Da esquerda:
. Como
, deve ocorrer
. Como estamos no caso
, segue
.
Verificação rápida: com
temos
e com
a interseção é de fato
, que bate com a hipótese.
Passo 7
Determinar
.
Sabendo que são as raízes da quadrática, o produto das raízes é
(coeficiente independente, pois a equação é
). Logo
Sabendo que
Já encontramos
. Portanto
Resposta
c) 7