(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2024 - modificada) Considere o triângulo ABC que satisfaz a seguinte relação:
\cos C=\frac{\operatorname{sen} A+\cos A}{2}=\frac{\operatorname{sen} B+\cos B}{2}
Sabendo que o \cos C é igual a \frac{\sqrt{a}}{b} com a e b números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (a+b) é igual ao número:
a) Quadrado perfeito
b) Primo
c) Par
d) Divisível por 4
e) Múltiplo de 3

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Temos um triângulo com ângulos A, B, C (portanto A,B,C\in(0,\pi) e A+B+C=\pi).
  • Foi dada a relação
\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}.
  • O problema afirma que \cos C=\dfrac{\sqrt{a}}{b} com a,b inteiros positivos e coprimos, e pede para determinar qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira para o número a+b.
Informações úteis extraídas do enunciado que usarei depois:
  • Da igualdade entre as duas frações obtemos \sin A+\cos A=\sin B+\cos B.
  • Recordar que A+B+C=\pi.

Passo 2

Entender a igualdade \sin A+\cos A=\sin B+\cos B.
Usarei a identidade trigonométrica útil
\sin x+\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right),
que provém da soma de seno e cosseno por deslocamento de fase. Aplicando isso a A e B obtemos
\sqrt{2}\,\sin\!\left(A+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,\sin\!\left(B+\frac{\pi}{4}\right),
ou seja
\sin\!\left(A+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(B+\frac{\pi}{4}\right).
Para \sin u=\sin v há as possibilidades (no intervalo dos ângulos do triângulo) u=v ou u=\pi-v. Assim:
  • Caso 1: A+\dfrac{\pi}{4}=B+\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow A=B.
  • Caso 2: A+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\left(B+\dfrac{\pi}{4}\right)\Rightarrow A=\dfrac{\pi}{2}-B.
Vou analisar cada caso.

Passo 3

Analisar o Caso 2: A=\dfrac{\pi}{2}-B.
Se A=\dfrac{\pi}{2}-B então A+B=\dfrac{\pi}{2} e portanto
C=\pi-(A+B)=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Então \cos C=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Pela relação dada teria que valer
0=\frac{\sin A+\cos A}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin A+\cos A=0.
Resolver \sin A+\cos A=0 \tan A=-1\Rightarrow A=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Entre 0 e \pi a solução é A=\dfrac{3\pi}{4}. Mas se A=\dfrac{3\pi}{4} então B=\dfrac{\pi}{2}-A=-\dfrac{\pi}{4}, o que não é admissível como ângulo do triângulo. Logo o Caso 2 é impossível.
Portanto só resta o Caso 1: A=B.

Passo 4

Agora assumir A=B. Então C=\pi-2A e
\cos C=\cos(\pi-2A)=-\cos(2A).
A relação dada vira
-\cos(2A)=\frac{\sin A+\cos A}{2}.
Para simplificar, defina
u=\sin A+\cos A.
Reescrevendo \cos(2A) em termos de \sin A e \cos A temos
\cos(2A)=\cos^2A-\sin^2A=(\cos A-\sin A)(\cos A+\sin A)=(\cos A-\sin A)\,u.
Substituindo em -\cos(2A)=\dfrac{u}{2} obtemos
- (\cos A-\sin A)\,u=\frac{u}{2}.

Passo 5

Tratar o caso [u=0) e o caso u\neq0.
  • Se u=0 então \sin A+\cos A=0, e como vimos isso leva a ângulos não compatíveis com um triângulo (ou então a C=\pi/2 que já foi rejeitado). Portanto u\ne0.
Com u\ne0 podemos dividir por u e obter
-2(\cos A-\sin A)=1\quad\Rightarrow\quad \cos A-\sin A=-\frac{1}{2}.
Agora temos o sistema linear em \cos A e \sin A:
\begin{cases} \cos A+\sin A = u,\\[4pt] \cos A-\sin A = -\dfrac{1}{2}. \end{cases}
Somando as duas equações e subtraindo temos
\cos A=\frac{u}{2}-\frac{1}{4},\qquad \sin A=\frac{u}{2}+\frac{1}{4}.
Usar a identidade \cos^2A+\sin^2A=1\]. Substituindo as expressões de \(\cos A e \sin A:
\left(\frac{u}{2}-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{u}{2}+\frac{1}{4}\right)^2=1.
Calcule os quadrados:
\frac{u^2}{4}-\frac{u}{4}+\frac{1}{16}+\frac{u^2}{4}+\frac{u}{4}+\frac{1}{16}=1.
Os termos com u linear cancelam e somando:
\frac{u^2}{2}+\frac{1}{8}=1.
Assim
\frac{u^2}{2}=\frac{7}{8}\quad\Rightarrow\quad u^2=\frac{7}{4}.
Como u=\sin A+\cos A e \cos C=\dfrac{u}{2} (pela definição), temos
\cos C=\frac{u}{2}=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}.]

Passo 6

Determinar o sinal correto de \cos C.
O enunciado afirma que \cos C=\dfrac{\sqrt{a}}{b} (positiva), então \cos C>0. Portanto devemos escolher o sinal positivo:
\cos C=\frac{\sqrt{7}}{4}.
Logo a=7 e b=4, que são inteiros positivos e coprimos. Assim
a+b=7+4=11.
Agora verificar qual alternativa corresponde a 11:
  • 11 é primo.

Passo 7

Conclusão final: a alternativa correta é a que afirma que a+b é primo.

Resposta

b) Primo

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