Sabendo que o \cos C é igual a \frac{\sqrt{a}}{b} com a e b números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (a+b) é igual ao número:
a) Quadrado perfeito
b) Primo
c) Par
d) Divisível por 4
e) Múltiplo de 3
Passo 1
Vou descrever claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Temos um triângulo com ângulos A, B, C (portanto A,B,C\in(0,\pi) e A+B+C=\pi).
O problema afirma que \cos C=\dfrac{\sqrt{a}}{b} com a,b inteiros positivos e coprimos, e pede para determinar qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira para o número a+b.
Informações úteis extraídas do enunciado que usarei depois:
Da igualdade entre as duas frações obtemos \sin A+\cos A=\sin B+\cos B.
Resolver \sin A+\cos A=0 dá \tan A=-1\Rightarrow A=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Entre 0 e \pi a solução é A=\dfrac{3\pi}{4}. Mas se A=\dfrac{3\pi}{4} então B=\dfrac{\pi}{2}-A=-\dfrac{\pi}{4}, o que não é admissível como ângulo do triângulo. Logo o Caso 2 é impossível.
Portanto só resta o Caso 1: A=B.
Passo 4
Agora assumir A=B. Então C=\pi-2A e
\cos C=\cos(\pi-2A)=-\cos(2A).
A relação dada vira
-\cos(2A)=\frac{\sin A+\cos A}{2}.
Para simplificar, defina
u=\sin A+\cos A.
Reescrevendo \cos(2A) em termos de \sin A e \cos A temos
Se u=0 então \sin A+\cos A=0, e como vimos isso leva a ângulos não compatíveis com um triângulo (ou então a C=\pi/2 que já foi rejeitado). Portanto u\ne0.