(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2023 - modificada) Lançamos um dado não viciado três e os números obtidos são
e
. Sabendo que a probabilidade de
é igual a
, então o valor de
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá que lançamos um dado justo três vezes e obtemos os números
, cada um em
. Pede-se a probabilidade
de ocorrer
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Cada lançamento é independente e uniforme em
. - Precisamos comparar os valores
para .
As perguntas são: quais são esses valores e, com base neles, qual a probabilidade do evento pedido?
Passo 2
Vamos calcular os valores de
para
. É útil lembrar que
e que a função é simétrica:
. Calculemos:
Portanto, os valores possíveis são apenas
, cada um aparecendo exatamente para dois valores de
:
-
ocorre para , -
ocorre para , -
ocorre para .
Passo 3
Para que haja estrita desigualdade
, os três valores devem pertencer a níveis distintos entre
. A única ordem crescente possível entre esses níveis é
Logo, é necessário e suficiente que
pertença ao nível que dá
,
ao nível que dá
e
ao nível que dá
. Em termos dos conjuntos de índices:
Passo 4
Agora contamos as possibilidades. Cada lançamento tem
resultados possíveis, então o espaço amostral total tem
resultados equiprováveis.
O número de resultados favoráveis é o produto do número de escolhas em cada nível:
Portanto a probabilidade pedida é
Passo 5
Simplificando a fração:
Então a probabilidade
é
. (Verificação rápida: não há outras ordens possíveis porque só existem três valores distintos de
, logo a única sequência estritamente crescente é a já considerada.)