(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2023 - modificada) Lançamos um dado não viciado três e os números obtidos são x, y e z. Sabendo que a probabilidade de \binom{7}{x}<\binom{7}{y}<\binom{7}{z} é igual a P, então o valor de P é igual a:
a) \frac{2}{3}
b) \frac{1}{6}
c) \frac{1}{9}
d) \frac{3}{4}
e) \frac{1}{27}

Passo 1

O enunciado dá que lançamos um dado justo três vezes e obtemos os números x,y,z, cada um em \{1,2,3,4,5,6\}. Pede-se a probabilidade P de ocorrer
\binom{7}{x} < \binom{7}{y} < \binom{7}{z}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Cada lançamento é independente e uniforme em \{1,\dots,6\}.
  • Precisamos comparar os valores \binom{7}{k} para k=1,\dots,6.
    As perguntas são: quais são esses valores e, com base neles, qual a probabilidade do evento pedido?

Passo 2

Vamos calcular os valores de \binom{7}{k} para k=1,\dots,6. É útil lembrar que \binom{7}{k}=\dfrac{7!}{k!(7-k)!} e que a função é simétrica: \binom{7}{k}=\binom{7}{7-k}. Calculemos:
\begin{aligned} \binom{7}{1} &= 7,\\\ \binom{7}{2} &= 21,\\\ \binom{7}{3} &= 35,\\\ \binom{7}{4} &= \binom{7}{3}=35,\\\ \binom{7}{5} &= \binom{7}{2}=21,\\\ \binom{7}{6} &= \binom{7}{1}=7. \end{aligned}
Portanto, os valores possíveis são apenas 7,\,21,\,35, cada um aparecendo exatamente para dois valores de k:
  • 7 ocorre para k\in\{1,6\},
  • 21 ocorre para k\in\{2,5\},
  • 35 ocorre para k\in\{3,4\}.

Passo 3

Para que haja estrita desigualdade \binom{7}{x}<\binom{7}{y}<\binom{7}{z}, os três valores devem pertencer a níveis distintos entre \{7,21,35\}. A única ordem crescente possível entre esses níveis é
7 < 21 < 35.
Logo, é necessário e suficiente que x pertença ao nível que dá 7, y ao nível que dá 21 e z ao nível que dá 35. Em termos dos conjuntos de índices:
x\in\{1,6\},\qquad y\in\{2,5\},\qquad z\in\{3,4\}.

Passo 4

Agora contamos as possibilidades. Cada lançamento tem 6 resultados possíveis, então o espaço amostral total tem \,6^3=216 resultados equiprováveis.
O número de resultados favoráveis é o produto do número de escolhas em cada nível:
|\{1,6\}|\cdot|\{2,5\}|\cdot|\{3,4\}| = 2\cdot 2\cdot 2 = 8.
Portanto a probabilidade pedida é
P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}} = \frac{8}{216}.á

Passo 5

Simplificando a fração:
\frac{8}{216} = \frac{8\div 8}{216\div 8} = \frac{1}{27}.
Então a probabilidade P é \dfrac{1}{27}. (Verificação rápida: não há outras ordens possíveis porque só existem três valores distintos de \binom{7}{k}, logo a única sequência estritamente crescente é a já considerada.)

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}

Exercícios relacionados