Lincatize a equação de Bernoulli y^{\prime}=x^{2} y-\frac{x^{3}}{y} :

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
y' = x^{2}y - \frac{x^{3}}{y},
que pode ser escrita na forma padrão
y' - x^{2}y = -\,x^{3}y^{-1}.
Aqui identificamos P(x)=-x^{2}, Q(x)=-x^{3} e o expoente n=-1. Para resolver uma Bernoulli usamos a substituição
u = y^{1 - n} = y^{1 - (-1)} = y^{2}.

Passo 2

Vamos calcular u' em função de y e y'. Como u = y^{2}, pela regra da cadeia temos
u' = 2y\,y'.

Passo 3

Substituímos y' da equação original em u':
u' = 2y\Bigl(x^{2}y - \frac{x^{3}}{y}\Bigr) = 2\bigl(x^{2}y^{2} - x^{3}\bigr).
Como y^{2}=u, isso fica
u' = 2x^{2}u - 2x^{3}.

Passo 4

Reescrevendo, obtemos uma equação linear em u:
u' - 2x^{2}u = -\,2x^{3}.
Essa é a forma linear resultante após a substituição.

Resposta

A equação linear para u=y^{2} é
u' - 2x^{2}u = -2x^{3}.

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