Linearize a equaçio de Bernoulli y^{\prime}=x y-x^{2} y^{2} :

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
y' = x\,y - x^{2}\,y^{2}
que é da forma
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}
com p(x)=-x, q(x)=-x^{2} e n=2. Para linearizar, vamos usar a substituição padrão para Bernoulli:
u = y^{\,1-n} = y^{-1}.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma padrão, isolando o termo não linear:
y' - x\,y = -\,x^{2}\,y^{2}.

Passo 3

Definimos
u = \frac{1}{y}
e calculamos sua derivada em função de y:
u' = \bigl(y^{-1}\bigr)' = -\,\frac{y'}{y^{2}}.

Passo 4

Substituímos y' e y na forma padrão:
-\,y^{2}\,u' - x\,y = -\,x^{2}\,y^{2}.
Dividindo tudo por -y^{2} obtemos
u' + x\,\frac{y}{y^{2}} = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad u' + x\,u = x^{2},
que é uma equação linear em u.

Resposta

A equação linearizada é
u' + x\,u = x^{2}.

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