Mostre as fórmulas de transformadas de Laplace, usando propriedades e tabelas;
\mathcal{L}{\operatorname{cosh} a t \operatorname{sen} a t}=\frac{a\left(s^{2}+2 a^{2}\right)}{s^{4}+4 a^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(a t)\,\sin(a t). Vamos usar a definição de transformada de Laplace, a propriedade de linearidade, a propriedade de deslocamento no domínio s (para fatores e^{\alpha t}) e a tabela básica
\mathcal{L}\{\sin(a t)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}.

Passo 2

Usamos a identidade exponencial para escrever
\operatorname{cosh}(a t)\,\sin(a t) = \frac{e^{a t} + e^{-a t}}{2}\,\sin(a t) = \frac{1}{2}\bigl(e^{a t}\sin(a t) + e^{-a t}\sin(a t)\bigr).

Passo 3

Pela linearidade,
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\sin(a t)\} = \frac{1}{2}\Bigl[\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(a t)\}+\mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(a t)\}\Bigr].
E pela propriedade de deslocamento no domínio s,
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\sin(a t)\} = \frac{a}{(s-\alpha)^2 + a^2}.
Logo,
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(a t)\} = \frac{a}{(s - a)^2 + a^2}, \quad \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(a t)\} = \frac{a}{(s + a)^2 + a^2}.

Passo 4

Somando e colocando o fator 1/2:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\sin(a t)\} = \frac{a}{2}\Bigl[\frac{1}{(s - a)^2 + a^2} + \frac{1}{(s + a)^2 + a^2}\Bigr].
Para somar, escrevemos o numerador comum:
\frac{1}{(s - a)^2 + a^2} + \frac{1}{(s + a)^2 + a^2} = \frac{(s + a)^2 + a^2 + (s - a)^2 + a^2}{\bigl((s - a)^2 + a^2\bigr)\bigl((s + a)^2 + a^2\bigr)}.
No numerador:
(s + a)^2 + a^2 + (s - a)^2 + a^2 =2s^2 +4a^2.
No denominador, usando \bigl(X - Y\bigr)\bigl(X + Y\bigr)=X^2 - Y^2 com X = s^2 + 2a^2 e Y = 2as,
obtemos
\bigl((s - a)^2 + a^2\bigr)\bigl((s + a)^2 + a^2\bigr) = (s^2 +2a^2)^2 - (2as)^2 = s^4 +4a^4.

Passo 5

Substituindo de volta:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\sin(a t)\} = \frac{a}{2}\,\frac{2s^2 +4a^2}{s^4 +4a^4} = \frac{a\,(s^2 +2a^2)}{s^4 +4a^4}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(a t)\,\sin(a t)\} = \frac{a\,(s^2 +2a^2)}{s^4 +4a^4}.

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