(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 13 - Questão 13.7 - pág 304) Use os seguintes métodos para achar o máximo de
F(x)=4 x-1,8 x^wed>= 2+1,2 x^wed>= 3-0,3 x^wed>= 4
Interpolação quadrática ( x 0=1,75, x 1=2, x 2=2,5, iterações =4 ).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o máximo da função
F(x)=4x-1,8x^2+1,2x^3-0,3x^4
usando o método da interpolação quadrática com pontos iniciais
x0=1,75, x1=2, x2=2,5
e fazendo 4 iterações.
Conteúdo: otimização unidimensional, construímos um polinômio quadrático que passa por x3 = x2 ;-;12;(x2-x1)^2(f2-f0)-(x2-x0)^2(f2-f1) (x2-x1)(f2-f0)-(x2-x0)(f2-f1) , , e daí extraímos o vértice desse polinômio como novo candidato.
O que vamos precisar:
  • Avaliar nos três pontos.
  • Usar a fórmula (vinda da determinação do vértice de um polinômio interpolador):
  • Substituir o triplete dependendo se ficou à esquerda ou direita de e se , mantendo sempre o ponto médio com maior valor de .

Passo 2

  1. Avalia f0&=F(1,75)approx5,1082, f1&=F(2)=5,6000, f2&=F(2,5)approx5,7813 em num&=(0,5)^2(5,7813-5,1082)-(0,75)^2(5,7813-5,6000)approx0,06670, den&=0,5(5,7813-5,1082)-0,75(5,7813-5,6000)approx0,20059, x3&=2,5-tfrac120,066700,20059approx2,3336 , (x0,x1,x2)(2,;2,3336,;2,5) , :
  1. Calcula o novo ponto pela fórmula:
  1. Avalia . Como e , o novo triplete vira

Passo 3

  1. Agora
f0=F(2)=5,6000, f1=5,8858, f2=5,7813
  1. Produto interno:
num&=(0,5)^2(5,7813-5,6000)-(0,1664)^2(5,7813-5,8858)approx0,03121, den&=0,5(5,7813-5,6000)-0,1664(5,7813-5,8858)approx0,08253, x3&=2,5-tfrac120,031210,08253approx2,3108
  1. (x0,x1,x2)(2,;2,3108,;2,3336) . Aqui e , então o novo triplete é

Passo 4

f0=5,6000,;f1=5,8863,;f2=5,8858
num&=(0,0228)^2(5,8858-5,6000)-(0,3336)^2(5,8858-5,8863)approx2,04times10^-4, den&=0,0228(5,8858-5,6000)-0,3336(5,8858-5,8863)approx6,686times10^-3, x3&=2,3336-tfrac122,04times10^-46,686times10^-3approx2,3183
  1. (x0,x1,x2)(2,3108,;2,3183,;2,3336) . Agora e , então

Passo 5

f0=5,8863,;f1=5,8866,;f2=5,8858
num&=(0,0153)^2(5,8858-5,8863)-(0,0228)^2(5,8858-5,8866)approx2,99times10^-7, den&=0,0153(5,8858-5,8863)-0,0228(5,8858-5,8866)approx1,059times10^-5, x3&=2,3336-tfrac122,99times10^-71,059times10^-5approx2,3195
  1. .

Resposta

Depois de 4 iterações o método de interpolação quadrática faz o máximo aproximar-se de
boxedx^*approx2,3195, F(x^*)approx5,8866

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