(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 9 - Questão 9.13) Resolva o seguinte sistema utilizando a regra de Gauss-Jordan:
3 x+3 y-3 z=-9
6 x+2 y+2 z=2
-6 x+8 y+2 z=2

Passo 1

Beleza, temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas que pede pra gente resolver usando o método de Gauss–Jordan.
Conteúdo: Álgebra Linear – eliminação de Gauss–Jordan.
O que vamos usar:
  1. Representar o sistema como matriz aumentada.
  2. Fazer operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar, somar múltiplos de uma linha em outra) para obter a forma reduzida (identidade à esquerda).
  3. Ler a solução direto da matriz reduzida.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema
A ideia é, passo a passo, transformar essa matriz na forma
assim a gente já lê os valores de 3 & 3 & -3 & vline & -9 6 & 2 & ;;2 & vline & ;;2 -6 & 8 & ;;2 & vline & ;;2 direto.

Passo 3

Começamos pelo pivô da primeira linha (coluna 1). Vamos deixar aquele 3 igual a 1 dividindo a linha 1 por 3:

Passo 4

Agora zeramos tudo abaixo desse pivô:
  • Para a linha 2: L2 L2 - 6,L1
  • Para a linha 3: L3 L3 + 6,L1
Fazendo as contas:
L2: (6,2,2mid2)!-!6(1,1,-1mid-3)=(0,-4,8mid20) L3: (-6,8,2mid2)!+!6(1,1,-1mid-3)=(0,14,-4mid-16)
Logo a matriz vira

Passo 5

Agora usamos a segunda linha para pivô na coluna 2. Primeiro deixamos o -4 virar 1 dividindo a linha 2 por -4:

Passo 6

Zeramos os outros termos na coluna 2:
  • Linha 1: L1 L1 - L2
  • Linha 3: L3 L3 -14,L2
Calculemos:
L1: (1,1,-1mid-3)-(0,1,-2mid-5)=(1,0,1mid2) L3: (0,14,-4mid-16)-14(0,1,-2mid-5)=(0,0,24mid54)
A matriz fica

Passo 7

Último pivô na linha 3, coluna 3. Dividimos a linha 3 por 24 pra ficar 1:
E como L3 tfrac124L3Longrightarrow 1 & 0 & 1 & vline & 2 0 & 1 & -2 & vline & -5 0 & 0 & 1 & vline & tfrac5424 , temos

Passo 8

Só falta zerar os outros termos na coluna 3:
  • L1 L1 - L3
  • L2 L2 + 2,L3
Fica:
L1: (1,0,1mid2)-(0,0,1midtfrac94)=(1,0,0mid2-tfrac94)=l(1,0,0mid-tfrac14r) L2: (0,1,-2mid-5)+2(0,0,1midtfrac94)=(0,1,0mid-5+tfrac92)=l(0,1,0mid-tfrac12r)
A matriz reduzida final é

Resposta

x=-tfrac14, y=-tfrac12, z=tfrac94

Exercícios relacionados