(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 9 - Questão 9.8) Dado o seguinte sistema, resolva utilizando o método de gauss ingênua e substitua os valores para provar a corretude:
10 x+2 y-z=27
-3 x-6 y+2 z=-61.5
x+y+5 z=-21.5

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema
Conteúdo: Álgebra Linear – método de eliminação de Gauss.
O que vamos precisar: montar a matriz aumentada, usar operações de linha (pivotar, eliminar), depois resolver por substituição reversa.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
[ccc|c 10 & 2 & -1 & 27 -3 & -6 & 2 & -61.5 1 & 1 & 5 & -21.5 ]
Teoria: na eliminação de Gauss a gente escolhe o pivô (aqui ) e zera abaixo dele usando combinações lineares de linhas.

Passo 3

Eliminar L2:(-3)+tfrac310cdot10=0, -6+tfrac310cdot2=-5.4, 2+tfrac310(-1)=1.7, -61.5+tfrac310cdot27=-53.4 da segunda linha ( L3:1-tfrac110cdot10=0, 1-tfrac110cdot2=0.8, 5-tfrac110(-1)=5.1, -21.5-tfrac110cdot27=-24.2 ) e da terceira ( [ccc|c 10 & 2 & -1 & 27 0 & -5.4 & 1.7 & -53.4 0 & 0.8 & 5.1 & -24.2 ] ):
  1. :
  2. :
Fica a matriz

Passo 4

Eliminar L3 L3 - k,L2: da terceira linha usando o pivô 0.8 - 427(-5.4)=0, 5.1 - 427cdot1.7 = 28954, -24.2 - 427(-53.4)= -4335135 em [ccc|c 10 & 2 & -1 & 27 0 & -5.4 & 1.7 & -53.4 0 & 0 & 5.35185185 & -32.11111111 ] :
fator ,
Em decimais:

Passo 5

Agora a última equação é
5.35185185,z = -32.11111111 Longrightarrow z = -32.111111115.35185185 = -6

Passo 6

Volta para a segunda equação (linha 2):
-5.4,y + 1.7(-6) = -53.4 Longrightarrow -5.4,y -10.2 = -53.4 Longrightarrow -5.4,y = -43.2 Longrightarrow y = 8

Passo 7

Volta para a primeira equação:
10x + 2cdot8 -(-6) = 27 Longrightarrow 10x +16 +6 =27 Longrightarrow 10x =5 Longrightarrow x = 0.5

Resposta

(x, y, z) = l(0.5,;8,;-6r)

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