Prova 1 de Análise Numérica e Cálculo Numérico
DCC - ICEx - UFMG
Todas as questòes têm valor igual. Sempre use quatro casas decimais.
Seja A uma matriz de dimensão 8 times 8. Quatro asserções abaixo são equivalentes. Qual é a outra?
(A) A^T é invertível.
(B) As colunas de A são linearmente independentes.
[C posto(A)=8.
(D) 0 é autovalor de A.
E Para qualquer vetor b de dimensão 8 , existe um e um só vetor x tal que A x=b.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma matriz A de tamanho 8×8 e que quatro afirmações A, B, C, D, E são equivalentes entre si. A gente precisa descobrir qual é a “outra” afirmação, isto é, qual afirmação extra também é equivalente às dadas.
Conteúdo: conceito de matriz invertível, posto, independência linear, autovalores e solução de sistemas. Vamos usar:
  • Uma matriz quadrada é invertível ↔ det(A)≠0.
  • Invertibilidade ↔ colunas (ou linhas) independentes ↔ posto máximo ↔ único sistema A x=b.
  • Autovalor zero ↔ det(A)=0 (logo não entra no grupo de invertíveis).

Passo 2

Primeiro, vamos revisar cada assertiva dada e ver como ela se liga à invertibilidade de A:
(A) Aᵀ é invertível.
Como (det Aᵀ)=det A, Aᵀ invertível ↔ det A≠0 ↔ A invertível.
(B) As colunas de A são linearmente independentes.
Por definição, colunas independentes em matriz 8×8 ↔ posto=8 ↔ invertível.
© posto(A)=8.
Posto máximo em matriz 8×8 significa que a matriz tem dimensão cheia ↔ det(A)≠0 ↔ invertível.
(D) 0 é autovalor de A.
Se 0 é autovalor, existe vetor v≠0 tal que A v=0, logo det(A)=0 ↔ A singular. Essa NÃO é equivalente; é justamente o contrário.
(E) Para todo b∈ℝ⁸ existe um e só um x tal que A x=b.
Sistemas com solução única para todo b ocorrem só quando A invertível ↔ det(A)≠0.
Logo A, B, C e E são todas equivalentes a “A invertível”. D é o oposto, portanto não faz parte do grupo.

Passo 3

A pergunta “Qual é a outra?” quer que a gente apresente uma quinta assertiva (além de A, B, C, E) que também seja equivalente a A invertível. A forma mais direta é usar o determinante:
“det(A) ≠ 0”.
Em linguagem de autovalor, isso equivale a dizer que “0 não é autovalor de A”.

Resposta

A outra asserção equivalente é
F) det(A)neq 0
(ou, equivalentemente, “0 não é autovalor de A”).

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