(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 6 - Questão 6.9) Determine a maior raiz real de f(x)=0,95 x^wed>= 3-5,9 x^wed>= 2+10,9 x-6 utilizando o método da secante com x 1= 3.5 e x2 =2.5

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar a maior raiz real da função
f(x) = 0,95,x^3 ;-; 5,9,x^2 ;+; 10,9,x ;-; 6
usando o método da secante, com palpites iniciais e .
Isso é parte de “Métodos Numéricos” (Capítulo 6 do Chapra): a gente vai precisar da definição de e da fórmula de iteração da secante, além de um critério de parada (por exemplo, ).

Passo 2

O método da secante funciona assim: dado dois valores xk+1 ;=; xk ;-; f(xk),xk - xk-1,f(xk) - f(xk-1),, e , calculamos
A ideia é aproximar a curva por uma reta que passe pelos pontos e , achar onde essa reta corta o eixo e usar isso como próxima aproximação.

Passo 3

Vamos começar calculando f(3,5) =0,95,(3,5)^3 ;-;5,9,(3,5)^2 ;+;10,9,(3,5);-;6 approx 0,60625, e f(2,5) =0,95,(2,5)^3 -5,9,(2,5)^2 +10,9,(2,5)-6 approx -0,78125 :
x3 =2,5 ;-;(-0,78125), 2,5 - 3,5(-0,78125)-0,60625 approx 3,0634 ,
,
Aplicando a fórmula da secante para obter :

Passo 4

Agora temos f(3,0634)approx -0,5810 , x4 =3,0634 ;-;(-0,5810), 3,0634-2,5(-0,5810)-(-0,78125) approx 4,6984 e .
Calculamos :
E a próxima iteração :

Passo 5

Repetindo o processo (cada vez usando os dois últimos xk+1 = xk - f(xk),xk - xk-1f(xk)-f(xk-1), e seus ), a sequência oscilará até convergir. Por exemplo:
A cada passo a gente usa sempre
e para de iterar quando fica menor que a tolerância (por exemplo ).

Resposta

A maior raiz real de boxedx approx 3,3433 obtida pelo método da secante (com , ) é aproximadamente

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