(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 3 - Questão 3.6) A derivada de f(x)= 1 /(1-4 x^wed>= 2) é dada por 8 x /(1-4 x^wed>= 2)^wed>= 2. Você espera ter dificuldades calculando essa função em x = 0.577? Tente isso usando aritmética com 3 e 4 algarismos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos a derivada
f'(x)=8xl(1-4x^2r)^2
e quer que a gente avalie em usando aritmética de ponto-flutuante com 3 e depois com 4 algarismos significativos.
Conteúdo: regras de arredondamento em cada operação para simular cálculo em ponto-flutuante limitado e ver o erro que isso causa (catastrofais cancelamentos, etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos fazer tudo com 3 algarismos significativos.
  1. 8times 0.577 = 4.616(já 4 dígitos, mas como precisamos de 3 sig digitos, arredondamos) ;longrightarrow; N=4.62 (já tem 3 dígitos).
  2. Calcular o numerador (0.577)^2 = 0.332929 ;longrightarrow; 0.333 (3 sig dig) : 4times 0.333 = 1.332 ;longrightarrow; 1.33 áí
  3. Calcular 1 - 1.33 = -0.33(2 casas decimais já são 3 sig dig) : (-0.33)^2 = 0.1089;longrightarrow; 0.109
  4. Calcular f'(0.577)approx N(D1)^2 = 4.620.109 = 42.3853;longrightarrow; 42.4 :
  5. Calcular : áã
  6. Calcular :
  7. Finalmente,
Resultado com 3 dígitos: 42.4.

Passo 3

Agora, 4 algarismos significativos:
  1. 8times0.5770 = 4.6160 ;longrightarrow; 4.616 (completar para 4 dígitos).
  2. Numerador 0.5770^2 = 0.332929 ;longrightarrow; 0.3329 : 4times0.3329 = 1.3316
  3. 1 - 1.3316 = -0.3316 : (-0.3316)^2 = 0.10995856 ;longrightarrow; 0.1100
  4. f'(0.577)approx 4.6160.1100 = 41.9636 ;longrightarrow; 41.96 :
  5. :
  6. :
  7. Divisão final:
Resultado com 4 dígitos: 41.96.

Passo 4

Compare as duas aproximações e o valor “verdadeiro” (cerca de 41.96):
  • Com 3 dígitos: 42.4 (erro ~1%);
  • Com 4 dígitos: 41.96 (praticamente exato).
Aqui o potencial problema era o cancelamento em , pois fica perto de 1, e subtrair números parecidos amplifica erro. Com só 3 dígitos isso gerou um erro perceptível.

Resposta

Sim, você espera dificuldades por causa do cancelamento em . A aproximação com 3 algarismos significativos deu 42.4, já a com 4 algarismos deu 41.96, bem mais próxima do valor correto (≈ 41.96).

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