(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 3 - Questão 3.6) A derivada de
é dada por
. Você espera ter dificuldades calculando essa função em x = 0.577? Tente isso usando aritmética com 3 e 4 algarismos significativos.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos a derivada
e quer que a gente avalie em
usando aritmética de ponto-flutuante com 3 e depois com 4 algarismos significativos.
Conteúdo: regras de arredondamento em cada operação para simular cálculo em ponto-flutuante limitado e ver o erro que isso causa (catastrofais cancelamentos, etc.).
Conteúdo: regras de arredondamento em cada operação para simular cálculo em ponto-flutuante limitado e ver o erro que isso causa (catastrofais cancelamentos, etc.).
Passo 2
Primeiro, vamos fazer tudo com 3 algarismos significativos.
-
(já tem 3 dígitos). - Calcular o numerador
: - Calcular
: - Calcular
: - Calcular
: - Calcular
: - Finalmente,
Resultado com 3 dígitos: 42.4.
Passo 3
Agora, 4 algarismos significativos:
-
(completar para 4 dígitos). - Numerador
: -
: -
: -
: -
: - Divisão final:
Resultado com 4 dígitos: 41.96.
Passo 4
Compare as duas aproximações e o valor “verdadeiro” (cerca de 41.96):
- Com 3 dígitos: 42.4 (erro ~1%);
- Com 4 dígitos: 41.96 (praticamente exato).
Aqui o potencial problema era o cancelamento em
, pois
fica perto de 1, e subtrair números parecidos amplifica erro. Com só 3 dígitos isso gerou um erro perceptível.
Resposta
Sim, você espera dificuldades por causa do cancelamento em
. A aproximação com 3 algarismos significativos deu 42.4, já a com 4 algarismos deu 41.96, bem mais próxima do valor correto (≈ 41.96).