(Livro: Ruggiero, 1998 - Capítulo 1 - Questão 3) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dado os números:
x=0.7234 * 10^wed>= 4
y=0.2145 * 10^wed>=-3
z=0.2586 * 10^wed>= 1
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados
x+y+z

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema de ponto-flutuante em base decimal (β=10), mantissa de 4 dígitos e “acumulador de precisão dupla” (ou seja, na soma podemos usar até 8 dígitos antes de arredondar). Nos dão
x = 0.7234times10^4, y = 0.2145times10^-3, z = 0.2586times10^1
e pedem para calcular a soma no nosso sistema e achar o erro relativo, supondo exatos.
Conteúdo: aritmética de ponto-flutuante (normalização, alinhamento de expoentes, soma e arredondamento) e definição de erro relativo.

Passo 2

Teoria básica:
  1. Qualquer número é com em e até 4 dígitos decimais em .
  2. Para somar e , sem perda de generalidade , alinhamos expoentes:
    .
  3. Depois da soma “exata” em mantissas estendidas, normalizamos e arredondamos para 4 dígitos (round-to-nearest).

Passo 3

Primeiro, x = 0.7234times10^4 = 7234.0000, y = 0.2145times10^-3 = 0.0002145 . Aqui y = 0.0002145 = 0.00000002145times10^4 e 0.72340000 + 0.00000002 = 0.72340002(times10^4) , diferença de expoentes = 7.
Escrevendo em decimal:
fl(x+y) = 0.7234times10^4
Alinhando a :
Somando mantissas com 8 dígitos disponíveis:
Agora, com apenas 4 dígitos finais na mantissa, olhamos o quinto dígito (0) e não arredondamos:

Passo 4

Agora somar z = 0.2586times10^1 = 2.586times10^0 = 0.0002586times10^4 com 0.72340000 + 0.00025860 = 0.72365860(times10^4) .
Aqui fl(x+y+z) = 0.7237times10^4 = 7237 , , diferença = 3. Em mantissa para :
Somamos com 8 dígitos:
Agora arredondamos o valor normalizado para 4 dígitos:
– os primeiros 4 dígitos são 7,2,3,6; o 5º é 5 e o 6º é 8 (não-zero), logo arredonda pra cima.

Passo 5

Erro relativo:
erro = l|fl(x+y+z) - (x+y+z)r||x+y+z|
O valor exato é
x+y+z = 7234 + 2.586 + 0.0002145 = 7236.5862145
Então
|De
erro relativo = 0.41378557236.5862145 approx 5.72times10^-5

Resposta

fl
Erro relativo

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