Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: localizar os zeros reais da função polynomial
Informações dadas (diretas da função):
- É um polinômio de grau
(coeficiente dominante positivo). - Coeficientes: termo de grau
igual a , termo de grau igual a , termo constante igual a . - A tarefa é encontrar todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Primeiros testes simples (teorema das raízes racionais e valores inteiros) para ver se há raízes óbvias:
- O teorema das raízes racionais diz que possíveis raízes racionais são divisores de
: . - Calcular
nesses pontos:
- Nenhum desses é zero, logo não há raiz racional entre esses candidatos.
Passo 3
Existência de pelo menos uma raiz real (teorema do valor intermediário):
- Como
e , há uma mudança de sinal em . - Pelo teorema do valor intermediário, existe pelo menos um
com .
Passo 4
Mostrar que existe exatamente uma raiz real (análise da derivada e comportamento da função):
- Derivada:
- Zeros de
resolvem , ou seja . - Calcular aproximadamente esse valor:
- Sinal de
: - Se
então e . - Se
então e .
- Se
- Interpretação (monotonicidade):
- Para
: (função crescente). - Para
: (função decrescente). - Para
: (função crescente).
- Para
- Isso implica que
tem dois extremos locais: um máximo em e um mínimo em . - Avaliar
nesses pontos para ver se a função cruza o eixo mais de uma vez:
(os termos
foram obtidos aproximando
.)
- Ambas as extremidades locais são negativas. Como
quando e quando , o gráfico sobe de até um máximo negativo, desce até um mínimo negativo e depois sobe para . Portanto o gráfico cruza o eixo exatamente uma vez. - Conclusão: há exatamente uma raiz real.
Passo 5
Método numérico para localizar essa única raiz com precisão útil para prova (bissecção para garantir intervalo, depois Newton para refinar).
Vou primeiro usar bissecção para estreitar o intervalo em que a raiz está (já sabemos que está em ).
Vou primeiro usar bissecção para estreitar o intervalo em que a raiz está (já sabemos que está em
-
e . Ponto médio : Sinal muda entree → raiz em . -
Meio de
é :
Agora raiz em
.
- Meio de
é :
Raiz em
.
- Meio de
é :
Raiz em
.
- Meio de
é :
Raiz em
.
- Meio de
é :
Raiz em
.
O intervalo atual é
de largura
. Uma interpolação linear nos dá uma boa aproximação inicial:
Passo 6
Refinamento por Newton (método de Newton-Raphson) para obter precisão rápida:
- Fórmula do método de Newton:
onde . - Tomando
(aproximação da etapa anterior): - Calcular
e . - Usando cálculos aproximados:
- Calcular
- Correção:
- Atualização:
- Uma ou duas iterações mais trariam mudanças na sexta casa decimal ou menores; portanto
é uma boa aproximação.
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- Temos só uma raiz real (análise da derivada e sinal dos extremos).
- A raiz encontra-se em
e, por refinamento numérico (bissecção + Newton), é aproximadamente . - Podemos verificar que
é muito próximo de zero (da ordem de a dependendo da precisão dos cálculos), confirmando a solução.
Resposta
O único zero real é
.