Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
f(x)=x^{5}-x-3;

Passo 1

O enunciado pede: localizar os zeros reais da função polynomial
f(x)=x^{5}-x-3.
Informações dadas (diretas da função):
  • É um polinômio de grau 5 (coeficiente dominante positivo).
  • Coeficientes: termo de grau 5 igual a 1, termo de grau 1 igual a -1, termo constante igual a -3.
  • A tarefa é encontrar todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Primeiros testes simples (teorema das raízes racionais e valores inteiros) para ver se há raízes óbvias:
  • O teorema das raízes racionais diz que possíveis raízes racionais são divisores de 3: \pm1,\pm3.
  • Calcular f nesses pontos: f(1)=1^{5}-1-3=-3,
f(-1)=(-1)^{5}-(-1)-3=-1+1-3=-3,
f(3)=3^{5}-3-3=243-6=237,
f(-3)=(-3)^{5}-(-3)-3=-243+3-3=-243.
  • Nenhum desses é zero, logo não há raiz racional entre esses candidatos.

Passo 3

Existência de pelo menos uma raiz real (teorema do valor intermediário):
  • Como f(1)=-3 e f(2)=2^{5}-2-3=32-5=27>0, há uma mudança de sinal em [1,2].
  • Pelo teorema do valor intermediário, existe pelo menos um c\in(1,2) com f\text{(c)}=0.

Passo 4

Mostrar que existe exatamente uma raiz real (análise da derivada e comportamento da função):
  • Derivada: \displaystyle f'(x)=5x^{4}-1.
  • Zeros de f' resolvem 5x^{4}=1, ou seja x=\pm\left(\tfrac{1}{5}\right)^{1/4}.
  • Calcular aproximadamente esse valor: \left(\tfrac{1}{5}\right)^{1/4} = 5^{-1/4}\approx 0,66874.
  • Sinal de f':
    • Se |x|>0,66874 então x^{4}>\tfrac{1}{5} e f'(x)>0.
    • Se |x|<0,66874 então x^{4}<\tfrac{1}{5} e f'(x)<0.
  • Interpretação (monotonicidade):
    • Para x<-0,66874: f'(x)>0 (função crescente).
    • Para -0,66874<x<0,66874: f'(x)<0 (função decrescente).
    • Para x>0,66874: f'(x)>0 (função crescente).
  • Isso implica que f tem dois extremos locais: um máximo em x\approx-0,66874 e um mínimo em x\approx0,66874.
  • Avaliar f nesses pontos para ver se a função cruza o eixo x mais de uma vez: f\bigl(-0,66874\bigr)\approx -0,13333 +0,66874 -3 \approx -2,4646,
f\bigl(0,66874\bigr)\approx 0,13333 -0,66874 -3 \approx -3,5354.
(os termos x^{5} foram obtidos aproximando 0,66874^{5}\approx0,13333.)
  • Ambas as extremidades locais são negativas. Como f(x)\to -\infty quando x\to -\infty e f(x)\to +\infty quando x\to +\infty, o gráfico sobe de -\infty até um máximo negativo, desce até um mínimo negativo e depois sobe para +\infty. Portanto o gráfico cruza o eixo x exatamente uma vez.
  • Conclusão: há exatamente uma raiz real.

Passo 5

Método numérico para localizar essa única raiz com precisão útil para prova (bissecção para garantir intervalo, depois Newton para refinar).
Vou primeiro usar bissecção para estreitar o intervalo em que a raiz está (já sabemos que está em (1,2)).
  1. f(1)=-3 e f(2)=27. Ponto médio 1,5:
    f(1,5)=1,5^{5}-1,5-3=7,59375-4,5=3,09375>0.
    Sinal muda entre 1 e 1,5 → raiz em (1,1,5).
  2. Meio de (1,1,5) é 1,25:
    1,25^{5}=3,0517578125,
f(1,25)=3,0517578125-1,25-3=-1,1982421875<0.
Agora raiz em (1,25,1,5).
  1. Meio de (1,25,1,5) é 1,375: 1,375^{5}\approx4,914886474609375,
f(1,375)=4,914886474609375-1,375-3\approx0,539886474609375>0.
Raiz em (1,25,1,375).
  1. Meio de (1,25,1,375) é 1,3125: 1,3125^{5}\approx3,894902229309082,
f(1,3125)\approx3,894902229309082-1,3125-3\approx-0,417597770690918<0.
Raiz em (1,3125,1,375).
  1. Meio de (1,3125,1,375) é 1,34375: 1,34375^{5}\approx4,381808,
f(1,34375)\approx4,381808-1,34375-3\approx0,038058>0.
Raiz em (1,3125,1,34375).
  1. Meio de (1,3125,1,34375) é 1,328125: 1,328125^{5}\approx4,132000\quad(\text{valor aproximado}),
f(1,328125)\approx4,132000-1,328125-3\approx-0,196125<0.
Raiz em (1,328125,1,34375).
O intervalo atual é (1,328125,1,34375) de largura 0,015625. Uma interpolação linear nos dá uma boa aproximação inicial:
x_{\text{est}}\approx 1,328125+\dfrac{0,196125}{0,196125+0,038058}\cdot 0,015625 \approx 1,341214.

Passo 6

Refinamento por Newton (método de Newton-Raphson) para obter precisão rápida:
  • Fórmula do método de Newton: x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},onde f'(x)=5x^{4}-1.
  • Tomando x_{0}=1,341214 (aproximação da etapa anterior):
    • Calcular f(1,341214) e f'(1,341214).
    • Usando cálculos aproximados: f(1,341214)\approx -0,001203,
f'(1,341214)\approx 5\cdot(1,341214)^{4}-1\approx 15,1794.
  • Correção: \Delta x \approx \dfrac{-0,001203}{15,1794}\approx -7{,}93\times10^{-5}.
  • Atualização: x_{1}=1,341214-(-7{,}93\times10^{-5})\approx 1,341293.
  • Uma ou duas iterações mais trariam mudanças na sexta casa decimal ou menores; portanto x\approx1,341293 é uma boa aproximação.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • Temos só uma raiz real (análise da derivada e sinal dos extremos).
  • A raiz encontra-se em (1,2) e, por refinamento numérico (bissecção + Newton), é aproximadamente 1,341293.
  • Podemos verificar que f(1,341293) é muito próximo de zero (da ordem de 10^{-8} a 10^{-6} dependendo da precisão dos cálculos), confirmando a solução.

Resposta

O único zero real é x\approx 1,341293.

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