Localize as raízes das seguintes funções a seguir:
g(y)=sen(2 y)-y^28

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente “achar as raízes” da função
Ou seja, encontrar todo g(y)=sen(2y);-;y^28 tal que . O conteúdo envolvido é simples análise de funções e métodos númericos básicos (aqui vamos usar o método de Newton). Para resolver, vamos precisar de:
  1. identificar derivada ;
  2. perceber que já é raiz “trivial”;
  3. usar Newton para achar a solução não-trivial.

Passo 2

Primeiro, derivo g(y)=sen(2y)-y^28 Longrightarrow g'(y)=2cos(2y)-y4 :

O método de Newton diz que, a partir de um chute yn+1 = yn ;-;g(yn)g'(yn) , o próximo é
[
y_{n+1}

y_n ;-;\frac{g(y_n)}{g’(y_n)}.
]
Note que, plugando , dá
, logo é raiz. Agora vamos achar a outra.

Passo 3

Para achar a raiz positiva não-trivial, fazemos:
Chute inicial: y1 = 1.4 - 0.08999-2.2344 approx1.4 + 0.0403 =1.4403 .

Iteração 1:


[
y_1

1.4 - \frac{0.08999}{-2.2344}
\approx1.4 + 0.0403
=1.4403.
]

Passo 4

Iteração 2:

y2 = 1.4403 - 0.0083-2.2891 approx1.4403 + 0.0036 =1.4439
[
y_2

1.4403 - \frac{0.0083}{-2.2891}
\approx1.4403 + 0.0036
=1.4439.
]

Passo 5

Iteração 3 (pra garantir precisão):
y3 approx1.4439 - 0.0003-2.293 =1.4440 ,
,
A floresta de iterações mostra convergência rápida para .

Resposta

As raízes de são
boxedy=0 e yapprox1,444

Exercícios relacionados