Localize as raízes das seguintes funções a seguir:
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente “achar as raízes” da função
Ou seja, encontrar todo
tal que
. O conteúdo envolvido é simples análise de funções e métodos númericos básicos (aqui vamos usar o método de Newton). Para resolver, vamos precisar de:
- identificar derivada
; - perceber que
já é raiz “trivial”; - usar Newton para achar a solução não-trivial.
Passo 2
Primeiro, derivo
:
O método de Newton diz que, a partir de um chute
, o próximo
é
[
y_{n+1}
y_n ;-;\frac{g(y_n)}{g’(y_n)}.
]
]
Note que, plugando
, dá
, logo é raiz. Agora vamos achar a outra.
, logo
Passo 3
Para achar a raiz positiva não-trivial, fazemos:
Chute inicial: .
Chute inicial:
Iteração 1:
[
y_1
1.4 - \frac{0.08999}{-2.2344}
\approx1.4 + 0.0403
=1.4403.
]
\approx1.4 + 0.0403
=1.4403.
]
Passo 4
Iteração 2:
[
y_2
1.4403 - \frac{0.0083}{-2.2891}
\approx1.4403 + 0.0036
=1.4439.
]
\approx1.4403 + 0.0036
=1.4439.
]
Passo 5
Iteração 3 (pra garantir precisão):
,
,
A floresta de iterações mostra convergência rápida para
.
Resposta
As raízes de são