Use o método da bisseção para calcular um zero aproximado das seguintes funções a seguir com precisão epsilon=10^-3.
f(x)=x^4-2 x^2 no intervalo [1,2].

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método da bisseção e achar um zero aproximado da função
f(x)=x^4-2x^2
no intervalo , com precisão .
Conteúdo: método da bisseção (que parte do Teorema do Valor Intermediário).
O que vamos precisar:
  • Garantir que é contínua e que e têm sinais opostos.
  • Aplicar bisseção: calcular pontos médios, checar sinais e ir encurtando o intervalo até atingir a precisão .

Passo 2

Primeiro, checar os sinais em 1 e 2:
f(1)=1^4-2cdot1^2=1-2=-1<0, f(2)=2^4-2cdot2^2=16-8=8>0
Como , por continuidade existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Como funciona o método da bisseção?
  1. Daqui pra frente denotamos o intervalo atual por ck=ak+bk2, .
  2. Calculamos o ponto médio avaliamos .
  3. Se , a raiz está em , então e .
    Caso contrário ( ), a raiz está em , então e .
  4. Repetimos até que o comprimento do intervalo .

Passo 4

Agora vamos iterar até . Para cada iteração eu mostro , e .
  1. k=1:



    Raiz em .
  2. k=2:



    Raiz em .
  3. k=3:



    Raiz em .
  4. k=4:



    Raiz em .
  5. k=5:



    Raiz em .
  6. k=6:



    Raiz em .
  7. k=7:



    Raiz em .
  8. k=8:



    Raiz em .
  9. k=9:



    Raiz em .
  10. k=10:



    Raiz em .

Passo 5

Agora o comprimento do intervalo é
b10-a10=1.4140625-1.4130859375=0.0009765625<10^-3,
então já atingimos .

Resposta

Um zero aproximado é
boxedxapprox1.4131,
com erro menor que .

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