Na realização de uma experiência, determinaram-se os seguintes valores da capacidade térmica C a várias temperaturas T de um metal:
T -50 -20 10 70 100 120
C 0.125 0.128 0.134 0.144 0.150 0.155
Calcule um modelo linear que estime C em função de T. Calcule o coeficiente de correlação. Utilize o modelo para calcular C(T=130), C(T=70) e C(T=75).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ajustar um modelo linear do tipo
C(T)=a,T+b
usando mínimos quadrados, calcular o coeficiente de correlação e depois estimar C em três temperaturas. Isso é estatística básica: regressão linear simples e correlação de Pearson. Vamos precisar das fórmulas
$$a=\frac{n\sum T_iC_i - (\sum T_i)(\sum C_i)}{n\sum T_i^2 - (\sum T_i)^2},\quad
b=\frac{\sum C_i - a,\sum T_i}{n} a=nsum TiCi - (sum Ti)(sum Ci)nsum Ti^2 - (sum Ti)^2, b=sum Ci - a,sum Tinr=\frac{n\sum T_iC_i - (\sum T_i)(\sum C_i)}{\sqrt{\bigl[n\sum T_i^2 -(\sum T_i)^2\bigr]\bigl[n\sum C_i^2 -(\sum C_i)^2\bigr]}},. $$

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os cálculos das somas (com n=6 pontos):
sum Ti = -50 -20 +10 +70 +100 +120 =230
sum Ci =0.125+0.128+0.134+0.144+0.150+0.155 =0.836
sum Ti^2 =2500+400+100+4900+10000+14400 =32300
sum Ci^2 =0.015625+0.016384+0.017956+0.020736+0.022500+0.024025 =0.117226
sum TiCi =(-50)(0.125)+(-20)(0.128)+10(0.134)+70(0.144)+100(0.150)+120(0.155)=36.21

Passo 3

Agora a inclinação a e o intercepto b:
a=6cdot36.21 - (230)(0.836)6cdot32300 - (230)^2 =217.26 -192.28193800 -52900 =24.98140900approx0.0001773
b=0.836 -0.0001773cdot2306 =0.836 -0.040786 approx0.13254
Então o modelo é
boxedC(T)=0.0001773,T + 0.13254,

Passo 4

Vamos ao coeficiente de correlação r:
Numerador já é 6sum TiCi - (sum Ti)(sum Ci)=24.98.
Denominador:
$$\sqrt{\bigl[6\cdot32300 -230^2\bigr]\bigl[6\cdot0.117226 -0.836^2\bigr]}
=\sqrt{140900 \times 0.00446}\approx\sqrt{628.4}\approx25.07 raizl[6cdot32300 -230^2r]l[6cdot0.117226 -0.836^2r] =raiz140900 times 0.00446approxraiz628.4approx25.07r=\frac{24.98}{25.07}\approx0.9963,. $$

Passo 5

Usando o modelo para prever:
C(130)=0.0001773cdot130 +0.13254approx0.1556
C(70)=0.0001773cdot70 +0.13254approx0.1449
C(75)=0.0001773cdot75 +0.13254approx0.1458

Resposta

Modelo linear:
C(T)=0.0001773,T + 0.13254
Coeficiente de correlação: rapprox0.9963
Previsões:
C(130)approx0.1556, C(70)approx0.1449, C(75)approx0.1458,

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