([MACHADO et al, 2017], Problema 9 adaptado - Cap. 3) Determine a raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \ln (\mathrm{x})-1 através do método de Newton-Raphson, obtendo uma precisão de \varepsilon=10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}\ln(\mathrm{x})-1 com precisão \varepsilon=10^{-3}.\n
Informações fornecidas:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}\ln(\mathrm{x})-1,
a precisão desejada é \varepsilon=10^{-3} (ou seja, queremos que a aproximação final não mude mais do que 10^{-3} entre duas iterações consecutivas).\n
Não há outras informações (por exemplo, palpite inicial), então teremos de escolher um palpite razoável a partir dos dados da função.

Passo 2

Apresentando o método de Newton–Raphson (de forma didática, como numa prova):\n
O método de Newton é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma equação f(x)=0. A cada iteração usamos uma reta tangente à curva em x_n para estimar melhor a raiz. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual;
  • x_{n+1} é a próxima aproximação;
  • f'(x) é a derivada de f (a inclinação da reta tangente);
  • o quociente \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} é o “corretor” que nos diz quanto ajustar x_n.\n
    Critério de parada (que usarei): parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon. Justificativa: esse critério garante que a solução já está estabilizada até a precisão pedida. (Outra opção seria usar |f(x_n)|<\varepsilon, mas o enunciado pede precisão na raiz, então a diferença entre iterações é natural.)

Passo 3

Derivar a função e preparar tudo:\n
A função é \displaystyle f(x)=x\ln(x)-1. Derivando (lembrando que a derivada de x\ln x é \ln x + 1):
f'(x)=\ln(x)+1.
Domínio: \,x>0 (porque \ln(x) só está definida para x>0).\n
Antes de escolher o palpite inicial, verificamos sinais em pontos simples para localizar a raiz:
f(1)=1\cdot\ln(1)-1=0-1=-1,
f(2)=2\cdot\ln(2)-1\approx2\cdot0{,}693147-1\approx0{,}386294>0.
Como f(1)<0 e f(2)>0, existe uma raiz em (1,2). Vou escolher um palpite inicial simples dentro do intervalo, por exemplo x_0=1{,}5 (é um palpite razoável e comum em provas).

Passo 4

Primeira iteração (calcular x_1) — mostrar contas passo a passo:\n
Calculemos f(x_0) e f'(x_0) para x_0=1{,}5.
\ln(1{,}5)\approx0{,}4054651081,
f(1{,}5)=1{,}5\cdot\ln(1{,}5)-1\approx1{,}5\cdot0{,}4054651081-1\approx0{,}6081976622-1\approx-0{,}3918023378,
f'(1{,}5)=\ln(1{,}5)+1\approx0{,}4054651081+1\approx1{,}4054651081.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1{,}5 - \frac{-0{,}3918023378}{1{,}4054651081}\approx 1{,}5 + 0{,}278813726\approx 1{,}778813726.
Verificação da diferença:
|x_1-x_0| \approx |1{,}778813726-1{,}5|=0{,}278813726>10^{-3},
logo ainda não atendemos a \varepsilon.

Passo 5

Segunda iteração (calcular x_2) — continuar com cuidado e explicar as aproximações:\n
Para x_1\approx1{,}778813726 precisamos de \ln(x_1). Calculando (aproximação numérica):
\ln(1{,}778813726)\approx0{,}57594399\quad(\text{valor aproximado, suficiente para a conta}).
Então
f(x_1)=x_1\ln(x_1)-1\approx1{,}778813726\cdot0{,}57594399-1\approx0{,}024429\quad(\text{aprox.}),
f'(x_1)=\ln(x_1)+1\approx0{,}57594399+1\approx1{,}57594399.
Aplicando Newton:
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx1{,}778813726-\frac{0{,}024429}{1{,}57594399}\approx1{,}778813726-0{,}015502\approx1{,}763311726.
Diferença entre iterações:
|x_2-x_1|\approx|1{,}763311726-1{,}778813726|\approx0{,}015502>10^{-3},
ainda não atingimos \varepsilon, mas já estamos bem mais próximos da raiz.
(Observação didática: aqui eu mostrei como calcular \ln(x_1) e f(x_1) com aproximações decimais; em prova, faça as contas com 4–6 casas decimais conforme permitido pela calculadora.)

Passo 6

Terceira iteração (calcular x_3) — normalmente o método converge quadráticamente, então agora a melhora é rápida:\n
Para x_2\approx1{,}763311726 obtemos \ln(x_2) aproximado:
\ln(1{,}763311726)\approx0{,}567205.
Então
f(x_2)=x_2\ln(x_2)-1\approx1{,}763311726\cdot0{,}567205-1\approx0{,}000097\quad(\text{aprox.}),
f'(x_2)=\ln(x_2)+1\approx0{,}567205+1\approx1{,}567205.
Aplicando Newton:
x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx1{,}763311726-\frac{0{,}000097}{1{,}567205}\approx1{,}763311726-0{,}000089\approx1{,}763222837.
Agora verificamos a diferença:
|x_3-x_2|\approx|1{,}763222837-1{,}763311726|\approx0{,}0000889<10^{-3}.
Portanto o critério |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon é satisfeito na terceira iteração e podemos parar. Note que já estamos muito próximos do valor exato (a raiz verdadeira é x\approx1{,}7632228343518967, que está dentro do erro pedido).\n
Dica rápida para a prova: mostre pelo menos duas iterações completas (cálculo de f e f' e a correção), e mostre a verificação do critério de parada.

Resposta

\;x\approx1{,}7632

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