([MACHADO et al, 2017], Problema 9 adaptado - Cap. 3) Determine a raiz da função
através do método de Newton-Raphson, obtendo uma precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz da função
com precisão
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
a precisão desejada é
(ou seja, queremos que a aproximação final não mude mais do que
entre duas iterações consecutivas).\n
Não há outras informações (por exemplo, palpite inicial), então teremos de escolher um palpite razoável a partir dos dados da função.
Não há outras informações (por exemplo, palpite inicial), então teremos de escolher um palpite razoável a partir dos dados da função.
Passo 2
Apresentando o método de Newton–Raphson (de forma didática, como numa prova):\n
O método de Newton é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma equação . A cada iteração usamos uma reta tangente à curva em
para estimar melhor a raiz. A fórmula de iteração é
O método de Newton é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma equação
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é a próxima aproximação; -
é a derivada de (a inclinação da reta tangente); - o quociente
é o “corretor” que nos diz quanto ajustar .\n
Critério de parada (que usarei): parar quando. Justificativa: esse critério garante que a solução já está estabilizada até a precisão pedida. (Outra opção seria usar , mas o enunciado pede precisão na raiz, então a diferença entre iterações é natural.)
Passo 3
Derivar a função e preparar tudo:\n
A função é . Derivando (lembrando que a derivada de
é
):
A função é
Domínio:
(porque
só está definida para
).\n
Antes de escolher o palpite inicial, verificamos sinais em pontos simples para localizar a raiz:
Antes de escolher o palpite inicial, verificamos sinais em pontos simples para localizar a raiz:
Como
e
, existe uma raiz em
. Vou escolher um palpite inicial simples dentro do intervalo, por exemplo
(é um palpite razoável e comum em provas).
Passo 4
Primeira iteração (calcular
) — mostrar contas passo a passo:\n
Calculemos e
para
.
Calculemos
Aplicando a fórmula de Newton:
Verificação da diferença:
logo ainda não atendemos a
.
Passo 5
Segunda iteração (calcular
) — continuar com cuidado e explicar as aproximações:\n
Para precisamos de
. Calculando (aproximação numérica):
Para
Então
Aplicando Newton:
Diferença entre iterações:
ainda não atingimos
, mas já estamos bem mais próximos da raiz.
(Observação didática: aqui eu mostrei como calcular
e
com aproximações decimais; em prova, faça as contas com 4–6 casas decimais conforme permitido pela calculadora.)
Passo 6
Terceira iteração (calcular
) — normalmente o método converge quadráticamente, então agora a melhora é rápida:\n
Para obtemos
aproximado:
Para
Então
Aplicando Newton:
Agora verificamos a diferença:
Portanto o critério
é satisfeito na terceira iteração e podemos parar. Note que já estamos muito próximos do valor exato (a raiz verdadeira é
, que está dentro do erro pedido).\n
Dica rápida para a prova: mostre pelo menos duas iterações completas (cálculo de e
e a correção), e mostre a verificação do critério de parada.
Dica rápida para a prova: mostre pelo menos duas iterações completas (cálculo de