[Manual] Para cada função listada a seguir, faça os cálculos para encontrar a raíz com 6 iterações usando método da Bissecção.
(d) f(x)=x^{6}-x-1,[a, b]=[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de f(x)=x^{6}-x-1 no intervalo [0,2] usando o método da bissecção com 6 iterações. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raiz em [a,b] se f for contínua e f(a)\,f(b)<0.

Passo 2

Verificamos os sinais nos extremos do intervalo:
f(0)=0^{6}-0-1=-1, \quad f(2)=2^{6}-2-1=64-3=61.
Como f(0)\cdot f(2)=-1\cdot61<0, há pelo menos uma raiz em [0,2].

Passo 3

Em cada iteração calculamos o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avaliamos f(m) e escolhemos o subintervalo onde o sinal de f muda:
– se f(a)\,f(m)<0, a nova base é [a,m];
– se f(m)\,f(b)<0, a nova base é [m,b].

Passo 4

Aplicando 6 iterações, obtemos:
Iteração 1: a_{1}=0,\;b_{1}=2,\;m_{1}=(0+2)/2=1, f(m_{1})=1^{6}-1-1=-1<0 ⇒ novo intervalo [1,2].
Iteração 2: a_{2}=1,\;b_{2}=2,\;m_{2}=(1+2)/2=1{,}5, f(m_{2})=1{,}5^{6}-1{,}5-1\approx11{,}3906-2{,}5=8{,}8906>0 ⇒ novo intervalo [1,1{,}5].
Iteração 3: a_{3}=1,\;b_{3}=1{,}5,\;m_{3}=(1+1{,}5)/2=1{,}25, f(m_{3})=1{,}25^{6}-1{,}25-1\approx3{,}8147-2{,}25=1{,}5647>0 ⇒ novo intervalo [1,1{,}25].
Iteração 4: a_{4}=1,\;b_{4}=1{,}25,\;m_{4}=(1+1{,}25)/2=1{,}125, f(m_{4})=1{,}125^{6}-1{,}125-1\approx2{,}0270-2{,}125=-0{,}0980<0 ⇒ novo intervalo [1{,}125,1{,}25].
Iteração 5: a_{5}=1{,}125,\;b_{5}=1{,}25,\;m_{5}=(1{,}125+1{,}25)/2=1{,}1875, f(m_{5})=1{,}1875^{6}-1{,}1875-1\approx2{,}8030-2{,}1875=0{,}6155>0 ⇒ novo intervalo [1{,}125,1{,}1875].
Iteração 6: a_{6}=1{,}125,\;b_{6}=1{,}1875,\;m_{6}=(1{,}125+1{,}1875)/2=1{,}15625, f(m_{6})=1{,}15625^{6}-1{,}15625-1\approx2{,}3836-2{,}15625=0{,}2274>0 ⇒ novo intervalo [1{,}125,1{,}15625].

Passo 5

Após 6 iterações, utilizamos m_{6} como aproximação da raiz. O comprimento do intervalo final é
b_{6}-a_{6}=1{,}15625-1{,}125=0{,}03125,
o que fornece uma boa precisão dentro desse erro.

Resposta

A raiz aproximada após 6 iterações pelo método da bissecção é
x\approx1{,}15625.

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