Considere a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2.0}} \cos (\mathrm{x}).
Para encontrar um zero da função, aplicou-se o método da bipartição com intervalo inicial [\mathrm{a}_{0}, \mathrm{~b}_{0}]=[0,2.0], o que gerou uma sequência de intervalos [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn].
Preencha as lacunas com os respectivos valores dos limites dos intervalos obtidos. Utilize quatro casas decimais de precisão e notação de ponto-fixo:
\mathrm{a}_{1}= ? \mathrm{b}_{1}= ?
\mathrm{a}_{2}= ?, \mathrm{b}_{2}= ?
\mathrm{a}_{3}=? \mathrm{~b}_{3}= ?
Considerando como medida de erro o comprimento do intervalo \mathrm{b}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}, preencha com o valor de n (número inteiro) para que o erro seja no máximo 10-5:
\mathrm{n}= ?

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção na função \mathrm{f}(x)=e^{-x^2}\cos(x)
com intervalo inicial [a_0,b_0]=[0,2] para achar um zero. A cada iteração calculamos o ponto médio m_k=(a_{k-1}+b_{k-1})/2, avaliamos \mathrm{f}(m_k) e escolhemos o subintervalo onde ocorre troca de sinal.

Passo 2

Iteração 1: m_1=(0+2)/2=1{,}0. \mathrm{f}(1{,}0)=e^{-1}\cos(1)\approx0{,}3679\times0{,}5403\approx0{,}1988>0.
Como \mathrm{f}(0)\approx1>0 e \mathrm{f}(1{,}0)>0, a troca de sinal ocorre em [1{,}0,2{,}0].
Logo \displaystyle a_1=1{,}0000,\quad b_1=2{,}0000.

Passo 3

Iteração 2: m_2=(1{,}0+2{,}0)/2=1{,}5. \mathrm{f}(1{,}5)=e^{-2{,}25}\cos(1{,}5)\approx0{,}1054\times0{,}0707\approx0{,}0075>0.
Como \mathrm{f}(1{,}5)>0 e \mathrm{f}(1{,}0)>0, a troca de sinal fica em [1{,}5,2{,}0].
Logo \displaystyle a_2=1{,}5000,\quad b_2=2{,}0000.

Passo 4

Iteração 3: m_3=(1{,}5+2{,}0)/2=1{,}75. \mathrm{f}(1{,}75)=e^{-3{,}0625}\cos(1{,}75)\approx0{,}0468\times(-0{,}1782)\approx-0{,}0083<0.
Como \mathrm{f}(1{,}75)<0 e \mathrm{f}(1{,}5)>0, a troca de sinal está em [1{,}5,1{,}75].
Logo \displaystyle a_3=1{,}5000,\quad b_3=1{,}7500.

Passo 5

Para garantir erro ≤ 10^{-5} usamos que, após n iterações, o comprimento do intervalo é
\frac{b_0-a_0}{2^n}=\frac{2}{2^n}\le10^{-5}.
Isto implica
2^n\ge2\times10^5\quad\Longrightarrow\quad n\ge\frac{\ln(2\times10^5)}{\ln2}\approx17{,}61,
portanto o menor n inteiro é 18.

Resposta

a_{1}=1{,}0000,\;b_{1}=2{,}0000 a_{2}=1{,}5000,\;b_{2}=2{,}0000 a_{3}=1{,}5000,\;b_{3}=1{,}7500 n=18

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