Métodos de quebra para a solução de equações possuem a característica de refinar uma sequência de intervalos até que se atinja uma precisão desejada. O método da bipartição reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, o que não acontece no método da falsa-posição. Considere a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{x}) \sin (\mathrm{x}) com o intervalo inicial [\mathrm{a}_{0}, \mathrm{~b}_{0}]=[0.5,2] utilizado como ponto de partida.
Ao se utilizar o método da falsa-posição para a encontrar um zero da função dentro do intervalo mencionado, gera-se a sequência de intervalos [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3], …
Preencha as lacunas com os comprimentos dos intervalos bi-ai gerados a cada iteração, respectivamente:
\begin{aligned} & \mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1}=? \\\ & \mathrm{~b}_{2}-\mathrm{a}_{2}=? \\\ & \mathrm{~b}_{3}-\mathrm{a}_{3}=? \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da falsa-posição (regula falsi) em
f(x)=\ln(x)\,\sin(x)
com o intervalo inicial [a_0,b_0]=[0,5,\,2].
A cada iteração calculamos
x_{k}=\frac{a_{k-1}\,f(b_{k-1})-b_{k-1}\,f(a_{k-1})}{f(b_{k-1})-f(a_{k-1})}
e, dependendo do sinal de f(x_{k}), atualizamos um dos extremos para obter o próximo intervalo [a_k,b_k]. Vamos computar os três primeiros comprimentos b_k - a_k.

Passo 2

Avaliações iniciais:
f(a_0)=f(0,5)=\ln(0,5)\,\sin(0,5)\approx -0,3323,
f(b_0)=f(2)=\ln(2)\,\sin(2)\approx 0,6300.
Cálculo de x_1:
x_1=\frac{0,5\cdot0,6300 - 2\cdot(-0,3323)}{0,6300 - (-0,3323)}\approx1,0179.
Como f(x_1)\approx0,0151>0 e f(a_0)<0, o novo intervalo é
[a_1,b_1]=[0,5,\,1,0179]
e seu comprimento é
b_1 - a_1 = 1,0179 - 0,5 = 0,5179.

Passo 3

Segunda iteração:
f(a_1)=f(0,5)\approx -0,3323,\quad f(b_1)=f(1,0179)\approx0,0151.
x_2=\frac{0,5\cdot0,0151 - 1,0179\cdot(-0,3323)}{0,0151 - (-0,3323)}\approx0,9959.
Como f(x_2)\approx -0,0034<0 e f(b_1)>0, ajustamos
[a_2,b_2]=[0,9959,\,1,0179]
e
b_2 - a_2 = 1,0179 - 0,9959 = 0,0220.

Passo 4

Terceira iteração:
f(a_2)=f(0,9959)\approx -0,0034,\quad f(b_2)=f(1,0179)\approx0,0151.
x_3=\frac{0,9959\cdot0,0151 - 1,0179\cdot(-0,0034)}{0,0151 - (-0,0034)}\approx0,9999.
Como f(x_3)\approx -0,00012<0, o intervalo fica
[a_3,b_3]=[0,9999,\,1,0179]
e
b_3 - a_3 = 1,0179 - 0,9999 = 0,0180.

Resposta

\begin{aligned} b_{1}-a_{1}&=0,5179,\\\ b_{2}-a_{2}&=0,0220,\\\ b_{3}-a_{3}&=0,0180. \end{aligned}

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