[Manual] Para cada função listada a seguir, faça os cálculos para encontrar a raíz com 6 iterações usando método da Bissecção.
(c) f(x)=x^{3}-3,[a, b]=[0,3]

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=x^{3}-3 no intervalo [0,3] usando o método da bissecção com 6 iterações. Esse método exige que f seja contínua em [a,b] e que f(a)\cdot f(b)<0. A cada iteração calculamos o ponto médio e usamos o sinal de f para escolher o subintervalo contendo a raiz.

Passo 2

Verificamos inicialmente
f(0)=0^{3}-3=-3,\quad f(3)=3^{3}-3=24,
logo f(0)\cdot f(3)<0.
1ª iteração:
c_{1}=\frac{0+3}{2}=1.5,
f(c_{1})=(1.5)^{3}-3=3.375-3=0.375>0.
Como f(0)\cdot f(c_{1})<0, adotamos [a_{1},b_{1}]=[0,1.5].

Passo 3

2ª iteração no intervalo [0,1.5]:
c_{2}=\frac{0+1.5}{2}=0.75,
f(c_{2})=(0.75)^{3}-3=0.421875-3=-2.578125<0.
Como f(c_{2})\cdot f(1.5)<0, adotamos [a_{2},b_{2}]=[0.75,1.5].

Passo 4

3ª iteração em [0.75,1.5]:
c_{3}=\frac{0.75+1.5}{2}=1.125,
f(c_{3})=(1.125)^{3}-3=1.423828125-3=-1.576171875<0.
Como f(c_{3})\cdot f(1.5)<0, adotamos [a_{3},b_{3}]=[1.125,1.5].

Passo 5

4ª iteração em [1.125,1.5]:
c_{4}=\frac{1.125+1.5}{2}=1.3125,
f(c_{4})=(1.3125)^{3}-3\approx2.260986328125-3=-0.739013671875<0.
Como f(c_{4})\cdot f(1.5)<0, adotamos [a_{4},b_{4}]=[1.3125,1.5].

Passo 6

5ª iteração em [1.3125,1.5]:
c_{5}=\frac{1.3125+1.5}{2}=1.40625,
f(c_{5})=(1.40625)^{3}-3\approx2.781341552734375-3=-0.218658447265625<0.
Como f(c_{5})\cdot f(1.5)<0, adotamos [a_{5},b_{5}]=[1.40625,1.5].

Passo 7

6ª iteração em [1.40625,1.5]:
c_{6}=\frac{1.40625+1.5}{2}=1.453125,
f(c_{6})=(1.453125)^{3}-3\approx3.06854248046875-3=0.06854248046875>0.
Como f(1.40625)\cdot f(c_{6})<0, o intervalo final é [1.40625,1.453125] e a aproximação é c_{6}=1.453125.

Resposta

Aproximação da raiz após 6 iterações:
x\approx1.453125.

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