[Teórico] A equação
tem como raíz
. Considere o Método do Ponto Fixo.
a As iteradas
com
convergem para
? Porque?
b Prove que a sequência do Método de Newton com
nesta
satisfaz:
Em seguida, use-a para computar
usando 3 iterações a partir de
.
a As iteradas
b Prove que a sequência do Método de Newton com
Passo 1
O enunciado trata da equação
, cuja raiz positiva é
.
Na parte (a) investigamos o método de ponto fixo
Na parte (a) investigamos o método de ponto fixo
e queremos ver se ele converge para
.
Na parte (b) aplicamos o Método de Newton a
Na parte (b) aplicamos o Método de Newton a
para
, provamos que a iteração é
e usamos isso para aproximar
em três passos, partindo de
.
Passo 2
Para o método de ponto fixo, um ponto
é atraente se
e
.
Aqui e
Aqui
No ponto fixo positivo
temos
logo
. Pelo Teorema do Ponto Fixo, não há contração local porque precisamos de
, e de fato as iterações não convergem: num passo
e logo
, resulta num ciclo de período 2, salvo se
exatamente.
Passo 3
No Método de Newton para
definimos
com
. Assim
Passo 4
Agora, para
e
, calculamos três iterações:
Resposta
a) Não. Como
,
não é contração e gera ciclo de período 2 em vez de convergir.
b) A iteração de Newton dá
b) A iteração de Newton dá
Para
e
obtemos
logo
.