[Teórico] A equação x^{2}-b=0 tem como raíz p=\sqrt{b}. Considere o Método do Ponto Fixo.
a As iteradas x=g(x) com g(x)=b / x convergem para \sqrt{b} ? Porque?
b Prove que a sequência do Método de Newton com b=2 nesta f satisfaz:
p_{k+1}=\frac{1}{2}\left[p_{k}+\frac{b}{p_{k}}\right], \quad k=0,1,2, \cdots .
Em seguida, use-a para computar \sqrt{2} usando 3 iterações a partir de p_{0}=2.

Passo 1

O enunciado trata da equação \,x^{2}-b=0, cuja raiz positiva é p=\sqrt{b}.
Na parte (a) investigamos o método de ponto fixo
x_{k+1}=g(x_k)\quad\text{com}\quad g(x)=\frac{b}{x},
e queremos ver se ele converge para \sqrt{b}.
Na parte (b) aplicamos o Método de Newton a
f(x)=x^{2}-b
para b=2, provamos que a iteração é
p_{k+1}=\frac12\Bigl(p_k+\frac{b}{p_k}\Bigr)
e usamos isso para aproximar \sqrt{2} em três passos, partindo de p_0=2.

Passo 2

Para o método de ponto fixo, um ponto p é atraente se g(p)=p e \lvert g'(p)\rvert<1.
Aqui g(x)=b/x e
g'(x)=-\frac{b}{x^{2}}.
No ponto fixo positivo p=\sqrt{b} temos
g'(p)=-\frac{b}{(\sqrt{b})^{2}}=-1,
logo \lvert g'(p)\rvert=1. Pelo Teorema do Ponto Fixo, não há contração local porque precisamos de \lvert g'(p)\rvert<1, e de fato as iterações não convergem: num passo x_{1}=b/x_{0} e logo x_{2}=b/x_{1}=x_{0}, resulta num ciclo de período 2, salvo se x_{0}=p exatamente.

Passo 3

No Método de Newton para f(x)=x^{2}-b definimos
p_{k+1} = p_{k} - \frac{f(p_{k})}{f'(p_{k})}
com f'(x)=2x. Assim
p_{k+1} = p_{k} - \frac{p_{k}^{2}-b}{2\,p_{k}} = \frac{2p_{k}^{2}-(p_{k}^{2}-b)}{2\,p_{k}} = \frac{p_{k}^{2}+b}{2\,p_{k}} = \frac12\Bigl(p_{k}+\frac{b}{p_{k}}\Bigr).

Passo 4

Agora, para b=2 e p_{0}=2, calculamos três iterações:
p_{1} = \frac12\Bigl(2+\frac{2}{2}\Bigr) = \frac12(2+1) = 1{,}5,
p_{2} = \frac12\Bigl(1{,}5+\frac{2}{1{,}5}\Bigr) = \frac12\bigl(1{,}5+1{,}333333\dots\bigr) = 1{,}416666\dots,
p_{3} = \frac12\Bigl(1{,}416666\dots+\frac{2}{1{,}416666\dots}\Bigr) \approx \frac12(1{,}4166667+1{,}4117647) \approx 1{,}4142157.

Resposta

a) Não. Como \lvert g'(\sqrt{b})\rvert=1, g(x)=b/x não é contração e gera ciclo de período 2 em vez de convergir.
b) A iteração de Newton dá
p_{k+1} = \frac12\Bigl(p_{k}+\frac{b}{p_{k}}\Bigr).
Para b=2 e p_{0}=2 obtemos
p_{1}=1{,}5,\quad p_{2}\approx1{,}4166667,\quad p_{3}\approx1{,}4142157,
logo \sqrt{2}\approx1{,}4142157.

Exercícios relacionados