[Manual] Para cada função listada a seguir, faça os cálculos para encontrar a raíz com 6 iterações usando método da Bissecção.
(a) f(x)=x-e^{-x^{2}},[a, b]=[0,1]

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=x - e^{-x^2}
no intervalo [0,1] usando o método da Bissecção com 6 iterações.
O método da Bissecção consiste em, a cada iteração, calcular o ponto médio
m = \frac{a + b}{2},
avaliar f(m) e escolher o subintervalo onde f muda de sinal, garantindo a convergência para a raiz.

Passo 2

Definimos a_0=0, b_0=1.
Calculamos
m_1 = \frac{a_0 + b_0}{2} = 0.5,
e avaliamos
f(a_0)=f(0)=0 - e^0 = -1 < 0,
f(b_0)=f(1)=1 - e^{-1}\approx0.6321 > 0,
f(m_1)=f(0.5)=0.5 - e^{-0.25}\approx0.5 - 0.7788 = -0.2788 < 0.
Como f(m_1) e f(b_0) têm sinais opostos, o novo intervalo é
[a_1,b_1]=[m_1,b_0]=[0.5,\,1].

Passo 3

Com [a_1,b_1]=[0.5,1],
m_2 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75,
f(m_2)=f(0.75)=0.75 - e^{-0.5625}\approx0.75 - 0.5698 = 0.1802 > 0.
Aqui f(a_1)<0 e f(m_2)>0, logo mantemos
[a_2,b_2]=[a_1,m_2]=[0.5,\,0.75].

Passo 4

Com [a_2,b_2]=[0.5,0.75],
m_3 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625,
f(m_3)=f(0.625)=0.625 - e^{-0.390625}\approx0.625 - 0.6771 = -0.0521 < 0.
Como f(m_3) e f(b_2) têm sinais opostos, escolhemos
[a_3,b_3]=[m_3,b_2]=[0.625,\,0.75].

Passo 5

Com [a_3,b_3]=[0.625,0.75],
m_4 = \frac{0.625 + 0.75}{2} = 0.6875,
f(m_4)=f(0.6875)=0.6875 - e^{-0.47265625}\approx0.6875 - 0.6236 = 0.0639 > 0.
Assim, tomamos
[a_4,b_4]=[a_3,m_4]=[0.625,\,0.6875].

Passo 6

Com [a_4,b_4]=[0.625,0.6875],
m_5 = \frac{0.625 + 0.6875}{2} = 0.65625,
f(m_5)=f(0.65625)=0.65625 - e^{-0.43066406}\approx0.65625 - 0.6505 = 0.0058 > 0.
Portanto
[a_5,b_5]=[a_4,m_5]=[0.625,\,0.65625].

Passo 7

Com [a_5,b_5]=[0.625,0.65625],
m_6 = \frac{0.625 + 0.65625}{2} = 0.640625,
f(m_6)=f(0.640625)=0.640625 - e^{-0.41015625}\approx0.640625 - 0.6638 = -0.0232 < 0.
Como f(m_6) e f(b_5) têm sinais opostos, o intervalo final após 6 iterações é
[a_6,b_6]=[m_6,\,b_5]=[0.640625,\,0.65625].

Resposta

A aproximação da raiz após 6 iterações pelo método da Bissecção é
x \approx 0.640625.

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