[Manual] Para cada função listada a seguir, faça os cálculos para encontrar a raíz com 6 iterações usando método da Bissecção.
(b) f(x)=x+\ln x,[a, b]=[1 / 10,1]

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de f(x)=x+\ln x no intervalo [a,b]=[0,1/10,\,1] usando o método da bissecção em 6 iterações. O conteúdo é o método da bissecção, que localiza uma raiz de função contínua trocando de intervalo com base no sinal de f(x).

Passo 2

A ideia do método da bissecção é: dado um intervalo [a,b] com f(a)\,f(b)<0, calculamos o ponto médio
c = \frac{a+b}{2},
avaliamos f\text{(c)} e substituímos o extremo cujo valor de f tem o mesmo sinal que f\text{(c)}. Assim, a cada iteração reduzimos o comprimento do intervalo pela metade, garantindo que ainda exista raiz dentro dele.

Passo 3

Iteração 1:
Tomamos a_1=0{,}1, b_1=1.
Calculamos
c_1 = \frac{0{,}1 + 1}{2} = 0{,}55,
f(0{,}1) = 0{,}1 + \ln(0{,}1) = 0{,}1 - 2{,}302585\approx -2{,}202585,
f(0{,}55) = 0{,}55 + \ln(0{,}55) = 0{,}55 - 0{,}597837\approx -0{,}047837.
Como f(a_1) e f(c_1) são negativos, a raiz está em [c_1,b_1]=[0{,}55,\,1].

Passo 4

Iteração 2:
Agora a_2=0{,}55, b_2=1.
c_2 = \frac{0{,}55 + 1}{2} = 0{,}775,
f(0{,}775) = 0{,}775 + \ln(0{,}775) = 0{,}775 - 0{,}255414\approx 0{,}519586.
Aqui f(c_2)>0 e f(a_2)<0, logo a raiz fica em [a_2,c_2]=[0{,}55,\,0{,}775].

Passo 5

Iteração 3:
Tomamos a_3=0{,}55, b_3=0{,}775.
c_3 = \frac{0{,}55 + 0{,}775}{2} = 0{,}6625,
f(0{,}6625) = 0{,}6625 + \ln(0{,}6625) = 0{,}6625 - 0{,}411826\approx 0{,}250674.
Como f(c_3)>0, escolhemos o intervalo [a_3,c_3]=[0{,}55,\,0{,}6625].

Passo 6

Iteração 4:
Agora a_4=0{,}55, b_4=0{,}6625.
c_4 = \frac{0{,}55 + 0{,}6625}{2} = 0{,}60625,
f(0{,}60625) = 0{,}60625 + \ln(0{,}60625) = 0{,}60625 - 0{,}500783\approx 0{,}105467.
Como f(c_4)>0, a raiz está em [a_4,c_4]=[0{,}55,\,0{,}60625].

Passo 7

Iteração 5:
Tomamos a_5=0{,}55, b_5=0{,}60625.
c_5 = \frac{0{,}55 + 0{,}60625}{2} = 0{,}578125,
f(0{,}578125) = 0{,}578125 + \ln(0{,}578125) = 0{,}578125 - 0{,}546743\approx 0{,}031382.
Como f(c_5)>0, reduzimos para [a_5,c_5]=[0{,}55,\,0{,}578125].

Passo 8

Iteração 6:
Agora a_6=0{,}55, b_6=0{,}578125.
c_6 = \frac{0{,}55 + 0{,}578125}{2} = 0{,}5640625,
f(0{,}5640625) = 0{,}5640625 + \ln(0{,}5640625) = 0{,}5640625 - 0{,}572019\approx -0{,}0079565.
Aqui f(c_6)<0, então a raiz está em [c_6,b_6]=[0{,}5640625,\,0{,}578125].

Resposta

Aproximação da raiz após 6 iterações:
x_6 = 0{,}5640625,
com intervalo final [0{,}5640625,\,0{,}578125].

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